【排列组合】ZSC1076: 数学、不容易系列之三——考新郎
国庆期间,省城刚刚举行了一场盛大的集体婚礼,为了使婚礼进行的丰富一些,司仪临时想出了有一个有意思的节目,叫做"考新郎",具体的操作是这样的:
首先,给每位新娘打扮得几乎一模一样,并盖上大大的红盖头随机坐成一排; 然后,让各位新郎寻找自己的新娘.每人只准找一个,并且不允许多人找一个. 最后,揭开盖头,如果找错了对象就要当众跪搓衣板... 看来做新郎也不是容易的事情... 假设一共有N对新婚夫妇,其中有M个新郎找错了新娘,求发生这种情况一共有多少种可能.
Input
输入数据的第一行是一个整数C,表示测试实例的个数,然后是C行数据,每行包含两个整数N和M ( 1 < M <= N <= 20 )。
Output
对于每个测试实例,请输出一共有多少种发生这种情况的可能,每个实例的输出占一行。
Sample Input
2
2 2
3 2
Sample Output
1
3
思考过程:
这其实就是一个错排问题+排列组合问题
首先要从N个新郎当中找出M个找错的。即C(M,N)。其次是对这M组新人进行错排。而且两者之间是乘法原则。
(1)
N个新郎中M个错一共有几种,显然是C(m,n)=n!/(m!*(n-m)!)。即C(m,n)=n!/m!/(n-m)!
(2)
M个数的错排个数,递推关系:f[n]=(n-1)*(f[n-1]+f[n-2])
详细推导过程:
错排的情况:
首先考虑,如果开始有n-1个新郎,并且这n-1个人都已经完成了错排(有f(n-1)种可能),现在又来了一个人,那么后来的第n个人可以通过用自己的新娘去和那n-1个人中的任意一个交换,来实现n个人都错排。这种情况有(n-1)*f[n-1]种可能;
另外,如果开始的n-1个人不是都错排,那么要想使第n个人过来与其中一个交换后实现错排的话就必须满足两个条件:
①那n-1个人中只有一个人选到了自己的新娘,也就是说有n-2个人都已经错排了。
②第n个人必须和那个选到自己新娘的人去交换,但那个选到自己新娘的人可以是n-1个人中的任意一个。这种情况有(n-1)*f[n-2]种可能。
其他情况都不能满足n个人错排。
因此递推关系:f[n]=(n-1)*(f[n-1]+f[n-2])。
#include <iostream>
using namespace std;
int main()
{
long long arr[22];
arr[0]=1;
arr[1]=1;
for(int i=2;i<=20;i++)
{
arr[i]=arr[i-1]*i;
}
long long num[22];
num[1]=0;
num[2]=1;
for(int i=3;i<=20;i++) num[i]=(i-1)*(num[i-1]+num[i-2]);
int c;
cin>>c;
int n,m;
while(c--)
{
cin>>n>>m;
long long result=arr[n]/arr[m]/arr[n-m]*num[m];
cout<<result<<endl;
}
return 0;
}
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