首先我们需要明确一个概念，我们讨论的线性或者非线性针对的是自变量的系数，而非自变量本身，所以这样的话不管自变量如何变化，自变量的系数如果符合线性我们就说这是线性的。所以这里我们也就可以描述一下多项式线性回归。

由此公式我们可以看出，自变量只有一个，就是x，只不过x的级数（degree）不同而已。

我们这次用的数据是公司内部不同的promotion level所对应的薪资

下面我们来看一下在Python中是如何实现的

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

import pandas as pd

dataset = pd.read_csv('Position_Salaries.csv')

X = dataset.iloc[:, 1:2].values

# 这里注意：1:2其实只有第一列，与1 的区别是这表示的是一个matrix矩阵，而非单一向量。

y = dataset.iloc[:, 2].values

接下来，进入正题，开始多项式线性回归：

from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures

poly_reg = PolynomialFeatures(degree = 1) #degree 就是自变量需要的维度

X_poly = poly_reg.fit_transform(X)

lin_reg_2 = LinearRegression()

lin_reg_2.fit(X_poly, y)

这个过程我们设置了一元一次的自变量：degree=1 意思是自变量只有一次，相当于简单线性回归
我们在图像中表示一下：

# 图像中显示

plt.scatter(X, y, color = 'red')

plt.plot(X, lin_reg_2.predict(poly_reg.fit_transform(X)), color = 'blue')

plt.title('Truth or Bluff (Polynomial Regression)')

plt.xlabel('Position level')

plt.ylabel('Salary')

plt.show()

此图像与用简单线性回归表示的图像是一样的

# 简单线性回归 图像中显示

plt.scatter(X, y, color = 'red')

plt.plot(X, lin_reg.predict(X), color = 'blue')

plt.title('Truth or Bluff (Linear Regression)')

plt.xlabel('Position level')

plt.ylabel('Salary')

plt.show()

下面我们试着改变一下维度，将degree设置成2，其他不改变，执行一下代码看看图像：

我们可以发现整个趋势符合数据的分布。

我们将degree改成3 和 4 看看结果

我们可以发现，当degree=4的时候，基本上已经符合所有点的分布了

我们通过拆分横坐标将图像变得平滑一些:

X_grid = np.arange(min(X), max(X), 0.1)

X_grid = X_grid.reshape((len(X_grid), 1))

plt.scatter(X, y, color = 'red')

plt.plot(X_grid, lin_reg_2.predict(poly_reg.fit_transform(X_grid)), color = 'blue')

plt.title('Truth or Bluff (Polynomial Regression)')

plt.xlabel('Position level')

plt.ylabel('Salary')

plt.show()

下面我们给出一个测试值来试试结果 （6,10）

lin_reg_2.predict(poly_reg.fit_transform(6))

lin_reg_2.predict(poly_reg.fit_transform(10))

与实际值还是比较接近的。