独树一帜的字符串匹配算法——RK算法
参加了雅虎2015校招,笔试成绩还不错,谁知初面第一题就被问了个字符串匹配,要求不能使用KMP,但要和KMP一样优,当时瞬间就呵呵了。后经过面试官的一再提示,也还是没有成功在面试现场写得。现将该算法记录如下,思想绝对是字符串匹配中独树一帜的
字符串匹配
存在长度为n的字符数组S[0...n-1],长度为m的字符数组P[0...m-1],是否存在i,使得SiSi+1...Si+m-1等于P0P1...Pm-1,若存在,则匹配成功,若不存在则匹配失败。
RK算法思想
假设我们有某个hash函数可以将字符串转换为一个整数,则hash结果不同的字符串肯定不同,但hash结果相同的字符串则很有可能相同(存在小概率不同的可能)。
算法每次从S中取长度为m的子串,将其hash结果与P的hash结果进行比较,若相等,则有可能匹配成功,若不相等,则继续从S中选新的子串进行比较。
假设进行下面的匹配:
S0 | S1 | ... | Si-m+1 | Si-m+2 | ... | Si-1 | Si | Si+1 | ... | Sn-1 |
P0 | P1 | Pm-2 | Pm-1 |
情况一、hash(Si-m+1...Si) == hash(P0...Pm-1),此时Si-m+1...Si与P0...Pm-1有可能匹配成功。只需要逐字符对比就可以判断是否真的匹配成功,若匹配成功,则返回匹配成功点的下标i-m+1,若不成功,则继续取S的子串Si-m+2...Si+1进行hash
情况二、hash(Si-m+1...Si) != hash(P0...Pm-1),此时Si-m+1...Si与P0...Pm-1不可能匹配成功,所以继续取S的子串Si-m+2...Si+1进行hash
可以看出,不论情况一还是情况二,都涉及一个共同的步骤,就是继续取S的子串Si-m+2...Si+1进行hash。如果每次都重新求hash结果的话,复杂度为O(m),整体复杂度为O(mn)。如果可以利用上一个子串的hash结果hash(Si-m+1...Si),在O(1)的时间内求出hash(Si-m+2...Si+1),则可以将整体复杂度降低到线性时间
至此,问题的关键转换为如何根据hash(Si-m+1...Si),在O(1)的时间内求出hash(Si-m+2...Si+1)
设计hash函数为:hash(Si-m+1...Si) = Si-m+1*xm-1 + Si-m+2*xm-2 + ... + Si-1*x + Si
则 hash(Si-m+2...Si+1) = Si-m+2*xm-1 + Si-m+3*xm-2 + ... + Si*x + Si+1
= (hash(Si-m+1...Si) - Si-m+1*xm-1) * x + Si+1
hash结果过大怎么办?对某个大素数取余数即可(经典方法),称其为HASHSIZE
所以,hash函数更新为:hash(Si-m+1...Si) = (Si-m+1*xm-1 + Si-m+2*xm-2 + ... + Si-1*x + Si) % HASHSIZE
则 hash(Si-m+2...Si+1) = (Si-m+2*xm-1 + Si-m+3*xm-2 + ... + Si*x + Si+1) % HASHSIZE
= ((hash(Si-m+1...Si) - Si-m+1*xm-1) * x + Si+1) % HASHSIZE
设计算法时需要注意的几点:
1、可提前计算出hash(P0...Pm-1)和xm-1并保存
2、char c 的取值范围为0~255,计算hash结果时会自动类型提升为int,为避免符号位扩展,使用 (unsigned int)c & 0x000000FF
3、hash(Si-m+1...Si) - Si-m+1*xm-1 的结果可能为负数,需先加上 Si-m+1*HASHSIZE 并最后 % HASHSIZE 来保证结果非负
具体代码如下:
#define UNSIGNED(x) ((unsigned int)x & 0x000000FF)
#define HASHSIZE 10000019 int hashMatch(char* s, char* p) {
int n = strlen(s);
int m = strlen(p);
if (m > n || m == || n == )
return -;
// sv为S子串的hash结果,pv为字符串p的hash结果,base为x的m-1次方
unsigned int sv = UNSIGNED(s[]), pv = UNSIGNED(p[]), base = ;
int i, j;
// 初始化 sv, pv, base
for (i = ; i < m; i++) {
pv = (pv * + UNSIGNED(p[i])) % HASHSIZE;
sv = (sv * + UNSIGNED(s[i])) % HASHSIZE;
base = (base * ) % HASHSIZE;
}
i = m - ;
do {
// 情况一、hash结果相等
if (sv == pv) {
for (j = ; j < m && s[i - m + + j] == p[j]; j++)
;
if (j == m)
return i - m + ;
}
i++;
if (i >= n)
break;
// O(1)时间更新S子串的hash结果
sv = (sv + UNSIGNED(s[i - m]) * (HASHSIZE - base)) % HASHSIZE;
sv = (sv * + UNSIGNED(s[i])) % HASHSIZE;
} while (i < n); return -;
}
时间复杂度分析:循环复杂度O(n),hash结果相等时的逐字符匹配复杂度为O(m),整体时间复杂度为O(m+n)。空间复杂度为O(1)
运行时间PK
随机生成10亿字节(1024*1024*1023)的字符串保存到文件num.txt中,读出到字符串S中,P长度为1024*10字节,分别使用RK算法和KMP算法进行实验
从文件num.txt中读取字符串到S中所需时间为:
匹配成功时,RK算法匹配所需时间为:
匹配成功时,KMP算法匹配所需时间为:
匹配不成功时,RK算法匹配所需时间为:
匹配不成功时,KMP算法匹配所需时间为:
可以看出,RK算法和KMP算法均可以在线性时间内完成匹配,RK算法时间稍慢的原因主要有两点,一是数学取模运算,二是hash结果相同不一定完全匹配,需要再逐字符进行对比。统计hash结果相等但字符串不一定匹配的情况发现,匹配不成功时有105次hash结果相等但字符串不匹配的情况。S中长度为10239的子串个数大约为10亿,所以hash结果相等但不匹配的概率大约为一千万分之一(刚好约等于1/HASHSIZE),所以时间复杂度精确值应为O(n) + O(m*n/HASHSIZE)。
算法优化
在上面的测试中RK算法还是慢于KMP的,优化从两点出发:一是用其他运算代替取模运算,二是降低hash冲突。
先解决降低冲突的问题,在之前的代码中,我们使用了x=10,假设存在char值为2,20,200的三个字符a,b,c,可以发现a*1000,b*100,c*10的hash结果是相同的,也就是发生了冲突,所以取大于等于256的数做x则可以避免这种冲突。另外HASHSIZE的大小也会决定冲突发生的概率,HASHSIZE最大可以多大呢?对于unsigned int来说,总共有2^32次方个,所以可以取HASHSIZE为2^32次方。而计算机对于大于等于2^32次方的数会自动舍弃高位,其刚好等价于对2^32次方取模,即对HASHSIZE取模,所以便可以从代码中去掉取模运算。
优化后的代码如下(代码中d即上文中的x):
#define UNSIGNED(x) ((unsigned char)x)
#define d 257 int hashMatch(char* s, char* p) {
int n = strlen(s);
int m = strlen(p);
if (m > n || m == || n == )
return -;
// sv为s子串的hash结果,pv为p的hash结果,base为d的m-1次方
unsigned int sv = UNSIGNED(s[]), pv = UNSIGNED(p[]), base = ;
int i, j;
int count = ;
// 初始化sv, pv, base
for (i = ; i < m; i++) {
pv = pv * d + UNSIGNED(p[i]);
sv = sv * d + UNSIGNED(s[i]);
base = base * d;
}
i = m - ;
do {
// 情况一,hash结果相等
if (!(sv ^ pv)) {
for (j = ; j < m && s[i - m + + j] == p[j]; j++)
;
if (j == m)
return i - m + ;
}
i++;
if (i >= n)
break;
// O(1)时间内更新sv, sv + UNSIGNED(s[i - m]) * (~base + 1)等价于sv - UNSIGNED(s[i - m]) * base
sv = (sv + UNSIGNED(s[i - m]) * (~base + )) * d + UNSIGNED(s[i]);
} while (i < n); return -;
}
匹配成功时,优化后RK算法匹配所需时间为:
匹配不成功时,优化后RK算法匹配所需时间为:
可以看出,优化后的RK算法已经在时间上优于KMP了。而且大小为2^32次方的HASHSIZE也保证了S的10亿个子串基本不会发生冲突。
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