《University Calculus》-chaper13-多重积分-二重积分的引入

2024-09-14 00:29:33

这一章节我们开始对多重积分的研究。

在此之前，我们首先来回忆起积分的过程，在平面中，面临求解不规则图形的面积(常叫曲边梯形)的时候，我们可以采取建立直角坐标系，然后通过得到不规则图形边界的函数表达式f(x)，对f(x)求解一次定积分即可。其方法就是先微分(将自变量区间划分为n个区间段)，引入极限的概念(即使得n趋向无穷)之后使得我们能够“化曲为直”，然后利用矩形的面积公式进行求解。随后是积分过程，将这n个小矩形相加求极限，可得曲边梯形的面积。

如下几图使得这个过程更加的直观.

Sp又叫做，f(x)在[a,b]上的黎曼和。

关于黎曼和，这里简单的插一句，关于积分的定义在牛顿时代就已经给出了，但是它现代数学的的定义是后来黎曼给出的。关于黎曼和，存在着很多形式。

由于积分和微分是逆运算，由此根据导数的定义可给出积分符号∫。

那么我们把一开始求曲边梯形的面积推广到空间，对于一个长方体将其一个面换成曲面(曲顶柱体)，我们如何求解其体积呢？

像这个图一样。(其顶部是一个曲面，底面在x-O-y面上)(之所以有这个限制，是因为二重积分自身方法的限制，对于更一般的情况，在三重积分中会提到。)

类比处理曲边梯形面积的思想，这里我们建立三维坐标系，用二元函数z = f(x,y)来表征最上面的曲面，我们从它的底面分析，考虑“化曲为直”将其往长方体上靠拢。

我们将底面的矩形用一些平行于x、y的直线，将其划分成n个小矩形，并标号。记第i个矩形的长为△xi，宽为△yi，第i个小矩形的面积是△Ai=△xi△yi。

容易看到，我们可以近似的将不规则几何体看成由n个长方体组成，那么会得到如下的黎曼和的形式：

而很容易看到，随着n趋于无穷，约等式右边的和式将无限的接近V。

如下图所示。

因此我们得到：

可以看到，这里我们有两个维度的微小圆，因此我们要在两个维度上进行积分，因此我们采用如下的表述方式：

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