基本概念

项与项集：设itemset={item1, item_2, …, item_m}是所有项的集合，其中，item_k(k=1,2,…,m)成为项。项的集合称为项集（itemset），包含k个项的项集称为k项集(k-itemset)。
事务与事务集：一个事务T是一个项集，它是itemset的一个子集，每个事务均与一个唯一标识符Tid相联系。不同的事务一起组成了事务集D，它构成了关联规则发现的事务数据库。
关联规则：关联规则是形如A=>B的蕴涵式，其中A、B均为itemset的子集且均不为空集，而A交B为空。
支持度(support)：关联规则的支持度定义如下：

其中表示事务包含集合A和B的并（即包含A和B中的每个项）的概率。注意与P(A or B)区别，后者表示事务包含A或B的概率。
置信度(confidence)：关联规则的置信度定义如下：

项集的出现频度(support count)：包含项集的事务数，简称为项集的频度、支持度计数或计数。
频繁项集(frequent itemset)：如果项集I的相对支持度满足事先定义好的最小支持度阈值（即I的出现频度大于相应的最小出现频度（支持度计数）阈值），则I是频繁项集。
强关联规则：满足最小支持度和最小置信度的关联规则，即待挖掘的关联规则。

实现步骤

一般而言，关联规则的挖掘是一个两步的过程：

1. 找出所有的频繁项集
2. 由频繁项集产生强关联规则

挖掘频繁项集

1 相关定义

连接步骤：频繁(k-1)项集Lk-1的自身连接产生候选k项集Ck

Apriori算法假定项集中的项按照字典序排序。如果Lk-1中某两个的元素（项集）itemset1和itemset2的前(k-2)个项是相同的，则称itemset1和itemset2是可连接的。所以itemset1与itemset2连接产生的结果项集是{itemset1[1], itemset1[2], …, itemset1[k-1], itemset2[k-1]}。连接步骤包含在下文代码中的create_Ck函数中。

剪枝策略

由于存在先验性质：任何非频繁的(k-1)项集都不是频繁k项集的子集。因此，如果一个候选k项集Ck的(k-1)项子集不在Lk-1中，则该候选也不可能是频繁的，从而可以从Ck中删除，获得压缩后的Ck。下文代码中的is_apriori函数用于判断是否满足先验性质，create_Ck函数中包含剪枝步骤，即若不满足先验性质，剪枝。

删除策略

基于压缩后的Ck，扫描所有事务，对Ck中的每个项进行计数，然后删除不满足最小支持度的项，从而获得频繁k项集。删除策略包含在下文代码中的generate_Lk_by_Ck函数中。

2 步骤

每个项都是候选1项集的集合C1的成员。算法扫描所有的事务，获得每个项，生成C1（见下文代码中的create_C1函数）。然后对每个项进行计数。然后根据最小支持度从C1中删除不满足的项，从而获得频繁1项集L1。
对L1的自身连接生成的集合执行剪枝策略产生候选2项集的集合C2，然后，扫描所有事务，对C2中每个项进行计数。同样的，根据最小支持度从C2中删除不满足的项，从而获得频繁2项集L2。
对L2的自身连接生成的集合执行剪枝策略产生候选3项集的集合C3，然后，扫描所有事务，对C3每个项进行计数。同样的，根据最小支持度从C3中删除不满足的项，从而获得频繁3项集L3。
以此类推，对Lk-1的自身连接生成的集合执行剪枝策略产生候选k项集Ck，然后，扫描所有事务，对Ck中的每个项进行计数。然后根据最小支持度从Ck中删除不满足的项，从而获得频繁k项集。

由频繁项集产生关联规则

一旦找出了频繁项集，就可以直接由它们产生强关联规则。产生步骤如下：

对于每个频繁项集itemset，产生itemset的所有非空子集（这些非空子集一定是频繁项集）；
对于itemset的每个非空子集s,如果，则输出，其中min_conf是最小置信度阈值。

样例以及Python实现代码

下图是《数据挖掘：概念与技术》（第三版）中挖掘频繁项集的样例图解。

本文基于该样例的数据编写Python代码实现Apriori算法。代码需要注意如下两点：

由于Apriori算法假定项集中的项是按字典序排序的，而集合本身是无序的，所以我们在必要时需要进行set和list的转换；
由于要使用字典（support_data）记录项集的支持度，需要用项集作为key，而可变集合无法作为字典的key，因此在合适时机应将项集转为固定集合frozenset。

"""

# Python 2.7

# Filename: apriori.py

# Author: llhthinker

# Email: hangliu56[AT]gmail[DOT]com

# Blog: http://www.cnblogs.com/llhthinker/p/6719779.html

# Date: 2017-04-16

"""

def load_data_set():

    """

    Load a sample data set (From Data Mining: Concepts and Techniques, 3th Edition)

    Returns:

        A data set: A list of transactions. Each transaction contains several items.

    """

    data_set = [['l1', 'l2', 'l5'], ['l2', 'l4'], ['l2', 'l3'],

            ['l1', 'l2', 'l4'], ['l1', 'l3'], ['l2', 'l3'],

            ['l1', 'l3'], ['l1', 'l2', 'l3', 'l5'], ['l1', 'l2', 'l3']]

    return data_set

def create_C1(data_set):

    """

    Create frequent candidate 1-itemset C1 by scaning data set.

    Args:

        data_set: A list of transactions. Each transaction contains several items.

    Returns:

        C1: A set which contains all frequent candidate 1-itemsets

    """

    C1 = set()

    for t in data_set:

        for item in t:

            item_set = frozenset([item])

            C1.add(item_set)

    return C1

def is_apriori(Ck_item, Lksub1):

    """

    Judge whether a frequent candidate k-itemset satisfy Apriori property.

    Args:

        Ck_item: a frequent candidate k-itemset in Ck which contains all frequent

                 candidate k-itemsets.

        Lksub1: Lk-1, a set which contains all frequent candidate (k-1)-itemsets.

    Returns:

        True: satisfying Apriori property.

        False: Not satisfying Apriori property.

    """

    for item in Ck_item:

        sub_Ck = Ck_item - frozenset([item])

        if sub_Ck not in Lksub1:

            return False

    return True

def create_Ck(Lksub1, k):

    """

    Create Ck, a set which contains all all frequent candidate k-itemsets

    by Lk-1's own connection operation.

    Args:

        Lksub1: Lk-1, a set which contains all frequent candidate (k-1)-itemsets.

        k: the item number of a frequent itemset.

    Return:

        Ck: a set which contains all all frequent candidate k-itemsets.

    """

    Ck = set()

    len_Lksub1 = len(Lksub1)

    list_Lksub1 = list(Lksub1)

    for i in range(len_Lksub1):

        for j in range(1, len_Lksub1):

            l1 = list(list_Lksub1[i])

            l2 = list(list_Lksub1[j])

            l1.sort()

            l2.sort()

            if l1[0:k-2] == l2[0:k-2]:

                Ck_item = list_Lksub1[i] | list_Lksub1[j]

                # pruning

                if is_apriori(Ck_item, Lksub1):

                    Ck.add(Ck_item)

    return Ck

def generate_Lk_by_Ck(data_set, Ck, min_support, support_data):

    """

    Generate Lk by executing a delete policy from Ck.

    Args:

        data_set: A list of transactions. Each transaction contains several items.

        Ck: A set which contains all all frequent candidate k-itemsets.

        min_support: The minimum support.

        support_data: A dictionary. The key is frequent itemset and the value is support.

    Returns:

        Lk: A set which contains all all frequent k-itemsets.

    """

    Lk = set()

    item_count = {}

    for t in data_set:

        for item in Ck:

            if item.issubset(t):

                if item not in item_count:

                    item_count[item] = 1

                else:

                    item_count[item] += 1

    t_num = float(len(data_set))

    for item in item_count:

        if (item_count[item] / t_num) >= min_support:

            Lk.add(item)

            support_data[item] = item_count[item] / t_num

    return Lk

def generate_L(data_set, k, min_support):

    """

    Generate all frequent itemsets.

    Args:

        data_set: A list of transactions. Each transaction contains several items.

        k: Maximum number of items for all frequent itemsets.

        min_support: The minimum support.

    Returns:

        L: The list of Lk.

        support_data: A dictionary. The key is frequent itemset and the value is support.

    """

    support_data = {}

    C1 = create_C1(data_set)

    L1 = generate_Lk_by_Ck(data_set, C1, min_support, support_data)

    Lksub1 = L1.copy()

    L = []

    L.append(Lksub1)

    for i in range(2, k+1):

        Ci = create_Ck(Lksub1, i)

        Li = generate_Lk_by_Ck(data_set, Ci, min_support, support_data)

        Lksub1 = Li.copy()

        L.append(Lksub1)

    return L, support_data

def generate_big_rules(L, support_data, min_conf):

    """

    Generate big rules from frequent itemsets.

    Args:

        L: The list of Lk.

        support_data: A dictionary. The key is frequent itemset and the value is support.

        min_conf: Minimal confidence.

    Returns:

        big_rule_list: A list which contains all big rules. Each big rule is represented

                       as a 3-tuple.

    """

    big_rule_list = []

    sub_set_list = []

    for i in range(0, len(L)):

        for freq_set in L[i]:

            for sub_set in sub_set_list:

                if sub_set.issubset(freq_set):

                    conf = support_data[freq_set] / support_data[freq_set - sub_set]

                    big_rule = (freq_set - sub_set, sub_set, conf)

                    if conf >= min_conf and big_rule not in big_rule_list:

                        # print freq_set-sub_set, " => ", sub_set, "conf: ", conf

                        big_rule_list.append(big_rule)

            sub_set_list.append(freq_set)

    return big_rule_list

if __name__ == "__main__":

    """

    Test

    """

    data_set = load_data_set()

    L, support_data = generate_L(data_set, k=3, min_support=0.2)

    big_rules_list = generate_big_rules(L, support_data, min_conf=0.7)

    for Lk in L:

        print "="*50

        print "frequent " + str(len(list(Lk)[0])) + "-itemsets\t\tsupport"

        print "="*50

        for freq_set in Lk:

            print freq_set, support_data[freq_set]

    print

    print "Big Rules"

    for item in big_rules_list:

        print item[0], "=>", item[1], "conf: ", item[2]

代码运行结果截图如下：

==============================

巴特西

Apriori