洛谷P3246 [HNOI2016]序列 [莫队]

传送门

思路

看到可离线、无修改、区间询问，相信一定可以想到莫队。

然而，莫队怎么转移是个大问题。

考虑\([l,r]\rightarrow[l,r+1]\)时答案会怎样变化？（左端点变化时同理）

\(ans+=\sum_{i=l}^r \min\{a_i,a_{i+1} ,\dots ,a_r\}\)。

那么这东西如何快速统计呢？

考虑使用前缀和。

首先，显然要用单调栈预处理每个点左边最靠右的第一个比它小的数的位置\(L_i\)，和ST表处理出RMQ的位置。

预处理出对于每一个\(r\)，\(F(r)=\sum_{i=1}^r \min\{a_i,a_{i+1} ,\dots ,a_r\}\)，方法如下：

\[F(r)=F(L_r)+a_r\times (r-L_r)
\]

上面公式的意思是：\((L_r,r]\)这一段带来的贡献是\(a_r\)，其他就和\(a_r\)无关，可以用\(F(L_r)\)代替了。

然后，\([l,r-1]\rightarrow[l,r]\)时就有：

\[\Delta ans=F(r)-F(L_{pos})-a_{pos}\times (l-1-L_{pos})
\]

其中\(pos\)表示\([l,r]\)中最小值的位置。

于是就做完了。

代码

#include<bits/stdc++.h>

clock_t t=clock();

namespace my_std{

	using namespace std;

	#define pii pair<int,int>

	#define fir first

	#define sec second

	#define MP make_pair

	#define rep(i,x,y) for (int i=(x);i<=(y);i++)

	#define drep(i,x,y) for (int i=(x);i>=(y);i--)

	#define go(x) for (int i=head[x];i;i=edge[i].nxt)

	#define templ template<typename T>

	#define sz 101100

	typedef long long ll;

	typedef double db;

	mt19937 rng(chrono::steady_clock::now().time_since_epoch().count());

	templ inline T rnd(T l,T r) {return uniform_int_distribution<T>(l,r)(rng);}

	templ inline bool chkmax(T &x,T y){return x<y?x=y,1:0;}

	templ inline bool chkmin(T &x,T y){return x>y?x=y,1:0;}

	templ inline T min(T x,T y){return x<y?x:y;}

	templ inline T max(T x,T y){return x>y?x:y;}

	templ inline void read(T& t)

	{

		t=0;char f=0,ch=getchar();double d=0.1;

		while(ch>'9'||ch<'0') f|=(ch=='-'),ch=getchar();

		while(ch<='9'&&ch>='0') t=t*10+ch-48,ch=getchar();

		if(ch=='.'){ch=getchar();while(ch<='9'&&ch>='0') t+=d*(ch^48),d*=0.1,ch=getchar();}

		t=(f?-t:t);

	}

	template<typename T,typename... Args>inline void read(T& t,Args&... args){read(t); read(args...);}

	void file()

	{

		#ifndef ONLINE_JUDGE

		freopen("a.in","r",stdin);

		#endif

	}

	inline void chktime()

	{

		#ifndef ONLINE_JUDGE

		cout<<(clock()-t)/1000.0<<'\n';

		#endif

	}

	#ifdef mod

	ll ksm(ll x,int y){ll ret=1;for (;y;y>>=1,x=x*x%mod) if (y&1) ret=ret*x%mod;return ret;}

	ll inv(ll x){return ksm(x,mod-2);}

	#else

	ll ksm(ll x,int y){ll ret=1;for (;y;y>>=1,x=x*x) if (y&1) ret=ret*x;return ret;}

	#endif

//	inline ll mul(ll a,ll b){ll d=(ll)(a*(double)b/mod+0.5);ll ret=a*b-d*mod;if (ret<0) ret+=mod;return ret;}

}

using namespace my_std;

int n,m;

ll a[sz];

int L[sz],R[sz];

ll Fl[sz],Fr[sz];

int st[sz][23],lg2[sz];

#define cmp(x,y) ((a[x]<a[y])?(x):(y))

inline int query(int l,int r){int len=lg2[r-l+1];return cmp(st[l][len],st[r-(1<<len)+1][len]);}

void init()

{

	rep(i,1,n) st[i][0]=i;

	rep(i,2,n) lg2[i]=lg2[i>>1]+1;

	rep(i,1,20)

		rep(j,1,n-(1<<i)+1)

			st[j][i]=cmp(st[j][i-1],st[j+(1<<(i-1))][i-1]);

	stack<int>s;

	rep(i,1,n)

	{

		while (!s.empty()&&a[s.top()]>=a[i]) s.pop();

		L[i]=(s.empty()?0:s.top());

		s.push(i);

	}

	while (!s.empty()) s.pop();

	drep(i,n,1)

	{

		while (!s.empty()&&a[s.top()]>a[i]) s.pop();

		R[i]=(s.empty()?n+1:s.top());

		s.push(i);

	}

	rep(i,1,n) Fl[i]=a[i]*ll(i-L[i])+Fl[L[i]];

	drep(i,n,1) Fr[i]=a[i]*ll(R[i]-i)+Fr[R[i]];

}

#undef cmp

inline ll queryL(int l,int r) /* [l+1,r]->[l,r] */

{

	int pos=query(l,r),Rpos=R[pos];

	return Fr[l]-Fr[Rpos]-a[pos]*ll(Rpos-1-r);

}

inline ll queryR(int l,int r) /* [l,r-1]->[l,r] */

{

	int pos=query(l,r),Lpos=L[pos];

	return Fl[r]-Fl[Lpos]-a[pos]*ll(l-1-Lpos);

}

int blo,pos[sz];

void Init(){blo=n/sqrt(m);rep(i,1,n) pos[i]=i/blo;}

struct hh{int l,r,id;}q[sz];

inline bool cmp(const hh &x,const hh &y){return pos[x.l]==pos[y.l]?((pos[x.l]&1)?x.r<y.r:x.r>y.r):pos[x.l]<pos[y.l];}

ll Ans[sz];

int main()

{

	file();

	read(n,m);

	rep(i,1,n) read(a[i]);

	int l,r;

	rep(i,1,m) read(l,r),q[i]=(hh){l,r,i};

	init();Init();sort(q+1,q+m+1,cmp);

	ll ans=0;

	int LL=1,RR=0;

	rep(i,1,m)

	{

		int l=q[i].l,r=q[i].r;

		while (LL>l) --LL,ans+=queryL(LL,RR);

		while (RR<r)

			++RR,ans+=queryR(LL,RR);

		while (LL<l) ans-=queryL(LL,RR),++LL;

		while (RR>r) ans-=queryR(LL,RR),--RR;

		Ans[q[i].id]=ans;

	}

	rep(i,1,m) printf("%lld\n",Ans[i]);

	return 0;

}

巴特西

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