「BZOJ 2653」middle「主席树」「二分」

题意

一个长度为\(n\)的序列\(a\)，设其排过序之后为\(b\)，其中位数定义为\(b[n/2]\)，其中\(a,b\)从\(0\)开始标号，除法取下整。给你一个长度为\(n\)的序列\(s\)。回答\(Q\)个这样的询问：\(s\)的左端点在\([a,b]\)之间，右端点在\([c,d]\)之间的子序列中，最大的中位数。其中\(a<b<c<d\)。位置也从\(0\)开始标号。强制在线。

题解

比较套路地，我们考虑二分这个中位数（设为当前\(mid\)），如果它偏左就往右移，否则往左移

为了方便，若\(x<mid\)，它的贡献是\(-1\)，否则是\(1\)，这样我们只要看总贡献的正负就行

我们就求出\([b + 1, c - 1]\)的贡献，加上\([a, b]\)的最大后缀和\([c, d]\)的最大前缀

我们考虑怎么求一个区间\([l, r]\)对\(c\)的贡献的前缀max，后缀max，区间和。如果对下标开主席树，区间和可以，但前两个操作不太行。

考虑两维互换。先考虑\([1, n]\)对\(1\)（注意这里已经离散化过了）的贡献，然后再移动到\([1, n]\)对\(2\)的贡献。我们发现总共只有\(n\)次\(1\)被改成\(-1\)的操作，就可以主席树了

询问的时候只要在一棵主席树上查询就行了，因为我们维护的并不是前缀信息。

#include <algorithm>

#include <cstdio>

#include <vector>

using namespace std;

const int N = 3e4 + 10;

const int M = N * 40;

int n, q, a[N], num[N], b[N], T[N], ls[M], rs[M], id;

vector<int> pos[N];

struct Node {

	int s, lm, rm;

	void init(int x) { s = lm = rm = x; }

} t[M];

void merge(Node &ans, const Node &l, const Node &r) {

	ans.s = l.s + r.s; ans.lm = max(l.lm, l.s + r.lm); ans.rm = max(r.rm, r.s + l.rm);

}

void build(int &u, int l, int r) {

	u = ++ id;

	if(l == r) { t[u].init(1); return ; }

	int mid = (l + r) >> 1;

	build(ls[u], l, mid);

	build(rs[u], mid + 1, r);

	merge(t[u], t[ls[u]], t[rs[u]]);

}

void ins(int &u, int p, int l, int r, int x) {

	u = ++ id; t[u] = t[p]; ls[u] = ls[p]; rs[u] = rs[p];

	if(l == r) { t[u].init(-1); return ; }

	int mid = (l + r) >> 1;

	if(x <= mid) ins(ls[u], ls[p], l, mid, x);

	else ins(rs[u], rs[p], mid + 1, r, x);

	merge(t[u], t[ls[u]], t[rs[u]]);

}

Node qry(int u, int l, int r, int ql, int qr) {

	if(l == ql && r == qr) return t[u];

	int mid = (l + r) >> 1;

	if(qr <= mid) return qry(ls[u], l, mid, ql, qr);

	if(ql > mid) return qry(rs[u], mid + 1, r, ql, qr);

	Node ans;

	merge(ans, qry(ls[u], l, mid, ql, mid), qry(rs[u], mid + 1, r, mid + 1, qr));

	return ans;

}

int qry_sum(int u, int l, int r, int ql, int qr) {

	if(l == ql && r == qr) return t[u].s;

	int mid = (l + r) >> 1;

	if(qr <= mid) return qry_sum(ls[u], l, mid, ql, qr);

	if(ql > mid) return qry_sum(rs[u], mid + 1, r, ql, qr);

	return qry_sum(ls[u], l, mid, ql, mid) + qry_sum(rs[u], mid + 1, r, mid + 1, qr);

}

int calc(int a, int b, int c, int d, int mid) {

	int ans = qry(T[mid], 1, n, a, b).rm + qry(T[mid], 1, n, c, d).lm;

	if(b + 1 < c) ans += qry_sum(T[mid], 1, n, b + 1, c - 1);

	return ans;

}

int solve(int a, int b, int c, int d) {

	int l = 1, r = n, mid;

	while(l <= r) {

		mid = (l + r) >> 1;

		if(calc(a, b, c, d, mid) >= 0) l = mid + 1;

		else r = mid - 1;

	}

	return num[l - 1];

}

int main() {

	scanf("%d", &n);

	for(int i = 1; i <= n; i ++) scanf("%d", a + i), num[i] = a[i];

	sort(num + 1, num + n + 1);

	for(int i = 1; i <= n; i ++) b[i] = lower_bound(num + 1, num + n + 1, a[i]) - num, pos[b[i]].push_back(i);

	build(T[1], 1, n);

	for(int i = 2; i <= n; i ++) {

		T[i] = T[i - 1];

		for(int j = 0; j < pos[i - 1].size(); j ++)

			ins(T[i], T[i], 1, n, pos[i - 1][j]);

	}

	scanf("%d", &q);

	int arr[4], la_ans = 0;

	for(int i = 1; i <= q; i ++) {

		scanf("%d%d%d%d", arr, arr + 1, arr + 2, arr + 3);

		for(int j = 0; j < 4; j ++) arr[j] = (arr[j] + la_ans) % n;

		sort(arr, arr + 4);

		printf("%d\n", la_ans = solve(arr[0] + 1, arr[1] + 1, arr[2] + 1, arr[3] + 1));

	}

	return 0;

}

巴特西

「BZOJ 2653」middle「主席树」「二分」

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