2019 Nowcoder Multi-University Training Contest 1 H-XOR

由于每个元素贡献是线性的，那么等价于求每个元素出现在多少个异或和为$0$的子集内。因为是任意元素可以去异或，那么自然想到线性基。
先对整个集合A求一遍线性基，设为$R$，假设$R$中元素个数为$r$，那么任取一个不在$R$内的元素，$R$中肯定存在一种取法能和这个元素异或和为$0$。
同理，取定一个不在$R$内的元素，再随便取另外任意个不在$R$内的元素，$R$内仍然存在一种取法使得这个异或和为$0$。那么每个不在$R$内的元素包含在$2^{n - r - 1}$个集合内(其他不在$R$内的元素可以任取)。所以所有不在$R$内的元素对答案的贡献就是$\left(n - r + 1\right) \times 2^{n - r + 1}$。
考虑在$R$内的元素，最多只有$62$个元素。它们对答案的贡献其实就跟上面的一样。
对不在线性基内的元素求一遍线性基，设为$other$，这样其实就缩成了$2$个包含$62$个元素的集合。枚举$R$的每个元素$a_i$，把其他$123$个元素加入一个线性基中，设这个线性基为$temp$，元素个数为$r'$，最后看$a_i$能否加入线性基中，如果不行就说明$temp$能让它异或和为$0$。同理可得对答案的贡献为$2^{n - r' - 1}$。
其实到这我只check了$a_i$能否加入$temp$，并没有check另外$n - r' - 1$个元素能否加入$temp$，但是其实在之前已经check过了，对于在$R$内和$other$的其他元素显然，因为我暴力枚举了它们去加入$temp$。对于其他元素其实都已经在得到$R$和$other$的时候尝试着让它们加入$R$和$other$，那么它们其实也是不能加入$temp$的。

#include <bits/stdc++.h>

#define ll long long

using namespace std;

const int sz = ;

const int N = 1e5 + ;

const ll MOD = 1e9 + ;

bool vis[N];

vector<ll> G;

ll a[N], bin[N];

struct XO {

    ll p[sz];

    void init() {

        memset(p, , sizeof(p));

    }

    bool ins(ll x) {

        for (int i = ; ~i; i--)

            if (x >> i & ) {

                if (!p[i]) { p[i] = x; return true; }

                x ^= p[i];

            }

        return false;

    }

} R, other, temp;

int main() {

    int n;

    bin[] = ;

    for (int i = ; i < N; i++) bin[i] = bin[i - ] *  % MOD;

    while (~scanf("%d", &n)) {

        R.init(); other.init();

        G.clear();

        int r = ;

        for (int i = ; i <= n; i++) {

            scanf("%lld", &a[i]);

            vis[i] = ;

            if (R.ins(a[i])) {

                r++;

                vis[i] = ;

                G.push_back(a[i]);

            }

        }

        if (r == n) {

            puts("");

            continue;

        }

        ll ans = (n - r) * bin[n - r - ] % MOD;

        for (int i = ; i <= n; i++) {

            if (!vis[i]) other.ins(a[i]);

        }

        for (auto x: G) {

            int tol = ;

            temp.init();

            for (auto y: G) {

                if (x == y) continue;

                if (temp.ins(y)) tol++;

            }

            for (int i = ; i <= ; i++) {

                if (temp.ins(other.p[i])) tol++;

            }

            if (!temp.ins(x)) ans = (ans + bin[n - tol - ]) % MOD;

        }

        printf("%lld\n", ans);

    }

    return ;

}

巴特西

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