Clairaut 定理 证明
(Clairaut 定理)设 $E$ 是 $\mathbf{R}^n$ 的开子集合,并设 $f:\mathbf{E}\to \mathbf{R}^{m}$ 是 $E$ 上的二次连续可微函数.那么对于一切$x_0\in E$ 和 $1\leq i,j\leq n$,
\begin{align*}
\frac{\partial }{\partial x_j}\frac{\partial f}{\partial
x_i}(x_0)= \frac{\partial }{\partial x_i}\frac{\partial
f}{\partial x_j}(x_0)
\end{align*}
证明:这个定理的本质是二重极限的顺序问题,在题设条件下,交换极限的顺序对结果无影响.我们依照定义来证明.不妨设 $j<i$.设 $x_0$ 在 $\mathbf{R}^n$ 中的坐标
为$(a_1,a_2,\cdots,a_n)$.则
\begin{equation}
\label{eq:8.00}
\frac{\partial f}{\partial x_i}(x_0)=\lim_{\Delta x_{i}\to 0;\Delta
x_{i}\neq 0}\frac{f(a_1,\cdots,a_i+\Delta
x_{i},\cdots,a_n)-f(a_1,\cdots,a_i,\cdots,a_n)}{\Delta x_{i}}.
\end{equation}
易得
\begin{align*}
&\frac{\partial }{\partial x_j}\frac{\partial f}{\partial
x_i}(x_0)\\&=\lim_{\Delta x_j\to 0;\Delta x_j\neq
0}\lim_{\Delta x_i\to 0;\Delta x_i\neq
0}\frac{\frac{f(a_1,\cdots,a_j+\Delta x_j,\cdots,a_i+\Delta
x_i,\cdots,a_n)-f(a_1,\cdots,a_j+\Delta
x_j,\cdots,a_i,\cdots,a_n)}{\Delta x_i}-\frac{f(a_1,\cdots,a_j,\cdots,a_i+\Delta
x_i,\cdots,a_n)-f(a_1,\cdots,a_i,\cdots,a_n)}{\Delta x_i}}{\Delta x_j}.
\end{align*}
且易得
\begin{align*}
&\frac{\partial }{\partial x_i}\frac{\partial f}{\partial
x_j}(x_0)\\&=\lim_{\Delta x_i\to 0;\Delta x_i\neq
0}\lim_{\Delta x_j\to 0;\Delta x_j\neq
0}\frac{\frac{f(a_1,\cdots,a_j+\Delta x_j,\cdots,a_i+\Delta
x_i,\cdots,a_n)-f(a_1,\cdots,a_j+\Delta
x_j,\cdots,a_i,\cdots,a_n)}{\Delta x_i}-\frac{f(a_1,\cdots,a_j,\cdots,a_i+\Delta
x_i,\cdots,a_n)-f(a_1,\cdots,a_i,\cdots,a_n)}{\Delta x_i}}{\Delta x_j}.
\end{align*}
结合微分中值定理,再加上二阶偏导数连续,因此极限可以交换顺序,而结果值不变.得证.
最新文章
- 浅析Java中的final关键字(转载)
- 关于Java占用内存的研究
- VBA中方法传参
- git tool
- Linux_日志管理介绍(一)
- Android蓝牙传感应用
- GDI+ 如何将图片绘制成圆形的图片
- BrainTree信用卡包
- 解决Ubuntu下安装VMware错误could not open /dev/vmmon
- git配置流程
- js实时监听input中值的变化
- JPA 系列教程6-单向多对多
- 67、django之模型层(model)--查询补充及mookie
- SQL Server 索引碎片产生原理重建索引和重新组织索引
- HTML5智能表单
- MYSQL之IFNULL
- 学习笔记之scikit-learn
- 手把手教您定制化Centos6.x安装界面
- Linux下环境变量设置技巧
- yum只下载软件不安装的两种方法
热门文章
- centos 7.4 安装docker 19.03.6 版本。附带离线安装包
- 80.常用的返回QuerySet对象的方法使用详解:order_by
- try,catch,finally尝试(一个程序块多个catch)
- 【每日Scrum】第三天冲刺
- VUE- iView组件框架的使用
- python之路(dingo 框架)
- 再谈记忆化搜索 HDU-1078
- 今天 运营同事发现的bug记录 上传商品时商品名称带双引号 导致输出页面时 双引号被转义
- 《Docekr入门学习篇》——Docker镜像制作
- Oracle连接Navicat Premium遇到的问题