题解 [ZJOI2007]棋盘制作
把悬线法这个坑填了,还是很简单的 qwq。
悬线法一般解决有一定约束条件的最大矩形问题。悬线的定义是从一个点一直往上走直到边界或者不符合条件结束。
炒个例子,在这题里面比如说有这样一个矩形
0 1 0 1
0 1 0 1
1 0 1 0
1 1 1 1
则第 \(4\) 行第 \(3\) 列的点的悬线就是这个
1
0
1(这就是起始的点
我们定义 \(up_{i, j}\) 为 \(i\) 行 \(j\) 列的点的悬线长度。
显而易见,如果可以转移,则有 \(up_{i, j} = up_{i - 1, j} + 1\)。
由于是矩形,我们还要枚举悬线往左移动能到的极远处于往右移动的极远处。
令 \(le_{i, j}\) 为第 \(i\) 行 \(j\) 列的点的悬线往左移动的极远处,\(ri_{i, j}\) 是往右的极远处。
如果 \(a_{i, j} \not = a_{i - 1, j}\),则有 \(le_{i, j} = \max\{le_{i, j}, le_{i - 1, j}\}, ri_{i, j} = \min\{ri_{i, j}, ri_{i - 1, j}\}\)。
为什么左边界取 \(\max\),右边界取 \(\min\) 呢?这不是求最近的边界吗?
其实这很好理解,首先我们画个图(丑陋预警(
拿这玩意儿画网格图我是什么个天才(悲
点 F 是我们当前所在的点,,我们假设 F 在第 \(i\) 行 \(j\) 列。EF 是 F 的悬线。CD 代表 EF 目前往左移动更新的极远处,GH 代表 EF 目前往右移动更新的极远处,AB 代表 \(i - 1\) 行 \(j\) 列的悬线往左的极远处,IJ 代表往右的极远处。
显然,我们的 CD 应该被更新成 AB,GH 应该被更新成 IJ。原因很简单,以 AB 为例,AB 已经被更新过了,是极左的,那么它为什么没有更新到 CD 那一行呢,因为 CD 与 AB 之间出现了不合法的,那么我们就不能更新到 AB,得更新到 CD。GH 与 IJ 的更新同理。
那么问题又来了,这能保证是极远处吗?显然可以。证明和上面差不多,不写了。
还有一个问题,我发现基本上所有的文章都没有提到,只是在代码里面写了怎么可以这样(恼,还有一个问题,还是上面那张图
。
图逐渐走向艺术派
我们会发现我们的方程没有考虑这里的红色部分是否合法。所以我们要在之前提前处理。如果可以 \(a_{i, j} \not = a_{i, j - 1}\),则 \(le_{i, j} = le_{i, j - 1}\)(这里 \(j\) 正序枚举)。如果 \(a_{i, j} \not = a_{i, j + 1}\) 则 \(ri_{i, j} = ri_{i, j + 1}\)(这里 \(j\) 倒序枚举)
这个应该很好理解因为我语文不好其实是懒我就不多解释了 qwq
代码:
//SIXIANG
#include <iostream>
#define MAXN 2000
#define QWQ cout << "QWQ" << endl;
using namespace std;
int a[MAXN + 10][MAXN + 10], up[MAXN + 10][MAXN + 10], le[MAXN + 10][MAXN + 10], ri[MAXN + 10][MAXN + 10];
int main() {
int n, m;
cin >> n >> m;
for(int p = 1; p <= n; p++)
for(int i = 1; i <= m; i++) {
cin >> a[p][i];
up[p][i] = 1;
le[p][i] = ri[p][i] = i;
}
for(int p = 1; p <= n; p++)
for(int i = 2; i <= m; i++)
if(a[p][i] != a[p][i - 1])
le[p][i] = le[p][i - 1];
for(int p = 1; p <= n; p++)
for(int i = m - 1; i >= 1; i--)
if(a[p][i] != a[p][i + 1])
ri[p][i] = ri[p][i + 1];
int ans1 = 0, ans2 = 0;
for(int p = 1; p <= n; p++) {
for(int i = 1; i <= m; i++) {
if(p > 1 && a[p][i] != a[p - 1][i]) {
up[p][i] = up[p - 1][i] + 1;
le[p][i] = max(le[p][i], le[p - 1][i]);
ri[p][i] = min(ri[p][i], ri[p - 1][i]);
}
int a = up[p][i], b = ri[p][i] - le[p][i] + 1;
int c = min(a, b);
ans1 = max(ans1, c * c);
ans2 = max(ans2, a * b);
}
}
cout << ans1 << ' ' << ans2 << endl;
}
其它题目就可以用类似的板子套上去(所以我就理直气壮的不写啦(
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