正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P6295

题目大意

求所有\(n\)个点的弱联通\(DAG\)数量。

\(1\leq n\leq 10^5\)

解题思路

先不考虑弱联通的限制，求\(n\)个点的\(DAG\)数量。

设为\(f_i\)，那么有式子

\[f_n=\sum_{i=1}^{n}\binom{n}{i}2^{i(n-i)}f_{n-i}(-1)^{i+1}
\]

这个式子的意思是说新建一层出度为\(0\)的点，\(\binom{n}{i}\)很显然，然后\(2^{i(n-i)}\)是连边，然后\(f_{n-i}\)表示前面的方案。之后会发现这样的连法其实不保证原来出度为\(0\)的点现在都不为\(0\)了，也就是说这个是至少有\(i\)个出度为\(0\)的点的方案，那么要有一个容斥系数\((-1)^{i+1}\)。

然后把\(2^{i(n-i)}\)拆成\(2^{\binom{n}{2}}2^{-\binom{i}{2}}2^{-\binom{n-i}{2}}\)化一下两边的式子就是

\[\frac{f_n}{2^{\binom{n}{2}}n!}=\sum_{i=1}^n\frac{(-1)^{i+1}}{2^{\binom{i}{2}}i!}\frac{f_{n-i}}{2^{\binom{n-i}{2}}(n-i)!}
\]

很经典的式子，设\(G(x)[n]=\frac{f_n}{2^{\binom{n}{2}}n!},F(x)[n]=\frac{(-1)^{n+1}}{2^{\binom{n}{2}}n!}\)

那么有

\[G=GF+1\Rightarrow G=\frac{1}{1-F}
\]

多项式求逆就可以得到\(G\)。

然后得出数组\(f\)，要求弱联通的话挺显然的就是如果弱联通的生成函数是\(H\)，没有要求的是\(F\)

那么有

\[e^H=F\Rightarrow H=\ln(F)
\]

所以在再个多项式ln就好了。

时间复杂度：\(O(n\log n)\)

code

#include<cstdio>

#include<cstring>

#include<algorithm>

#define ll long long

using namespace std;

const ll N=1<<17,M=N*8,P=998244353;

ll T,F[M],G[M],tmp[M],t1[M],t2[M],r[M];

ll power(ll x,ll b){

	ll ans=1;

	while(b){

		if(b&1)ans=ans*x%P;

		x=x*x%P;b>>=1;

	}

	return ans;

}

void NTT(ll *f,ll n,ll op){

	for(ll i=0;i<n;i++)

		if(i<r[i])swap(f[i],f[r[i]]);

	for(ll p=2;p<=n;p<<=1){

		ll len=p>>1,tmp=power(3,(P-1)/p);

		if(op==-1)tmp=power(tmp,P-2);

		for(ll k=0;k<n;k+=p){

			ll buf=1;

			for(ll i=k;i<k+len;i++){

				ll tt=buf*f[i+len]%P;

				f[i+len]=(f[i]-tt+P)%P;

				f[i]=(f[i]+tt)%P;

				buf=buf*tmp%P;

			}

		}

	}

	if(op==-1){

		ll invn=power(n,P-2);

		for(ll i=0;i<n;i++)

			f[i]=f[i]*invn%P;

	}

	return;

}

void GetInv(ll *f,ll *g,ll n){

	if(n==1){g[0]=power(f[0],P-2);return;}

	GetInv(f,g,n>>1);ll m=n<<1;

	for(ll i=0;i<n;i++)tmp[i]=F[i];

	for(ll i=n;i<m;i++)tmp[i]=0;

	for(ll i=0;i<m;i++)r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)?(m>>1):0);

	NTT(tmp,m,1);NTT(g,m,1);

	for(ll i=0;i<m;i++)g[i]=(2*g[i]-tmp[i]*g[i]%P*g[i]%P+P)%P;

	NTT(g,m,-1);

	for(ll i=n;i<m;i++)g[i]=0;

	return;

}

void GetD(ll *f,ll *g,ll n){

	for(ll i=0;i<n-1;i++)

		g[i]=f[i+1]*(i+1)%P;

	g[n-1]=0;return;

}

void GetJ(ll *f,ll *g,ll n){

	for(ll i=1;i<n;i++)

		g[i]=f[i-1]*power(i,P-2)%P;

	g[0]=0;return;

}

void GetLn(ll *f,ll *g,ll n){

	memset(t1,0,sizeof(t1));

	memset(t2,0,sizeof(t2));

//	n<<=1;

	GetD(f,t1,n);

	GetInv(f,t2,n);

	ll m=n<<1;

	for(ll i=0;i<m;i++)r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)?(m>>1):0);

	NTT(t1,m,1);NTT(t2,m,1);

	for(ll i=0;i<m;i++)t1[i]=t1[i]*t2[i]%P;

	NTT(t1,m,-1);

	for(ll i=n;i<m;i++)t1[i]=0;

	GetJ(t1,g,n);return;

}

signed main()

{

	F[1]=1;

	for(ll i=2;i<N;i++)F[i]=P-F[P%i]*(P/i)%P;

	F[0]=1;

	for(ll i=1;i<N;i++)F[i]=F[i-1]*F[i]%P;

	for(ll i=0;i<N;i++)F[i]=F[i]*power(power(2,i*(i-1)/2%(P-1)),P-2)%P;

	for(ll i=0;i<N;i++)F[i]=(i&1)?(P-F[i]):F[i];

	GetInv(F,G,N);

	for(ll i=0;i<N;i++)F[i]=G[i]*power(2,i*(i-1)/2%(P-1))%P;

	memset(G,0,sizeof(G));

	GetLn(F,G,N);

	scanf("%lld",&T);

	for(ll i=1,pw=1;i<=T;i++,pw=pw*i%P)

		printf("%lld\n",G[i]*pw%P);

	return 0;

}

巴特西

P6295-有标号 DAG 计数【多项式求逆,多项式ln】

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