luogu1896 [SCOI2005]互不侵犯 状压DP
2024-10-01 05:23:37
题目大意
在N×N的棋盘里面放K个国王,使他们互不攻击,共有多少种摆放方案。国王能攻击到它上下左右,以及左上左下右上右下八个方向上附近的各一个格子,共8个格子。( 1 <=N <=9, 0 <= K <= N * N)
题解
这跟“炮兵阵地”很是相似。定义一行的状态\(S\)为是否安放国王的01集合。先预处理出一行中两两国王无法攻击的所有状态(以后简称合理状态),以及这些状态中1的个数\(g(S)\)。定义\(f(r,S,k)\)为当第\(r\)行的状态为\(S\)时,1至\(r\)行中存在\(k\)个国王的安排有多少种。则递归式为:
\[f(r,S,k)=\sum_{S'\And(S|(S<<1)|(S>>1))=0}f(r-1,S',k-g(S))
\]
\]
实际上,S用可行状态的编号表示即可。
注意
- f数组中用来存放S的大小应当是1<<MAX_N,而不是MAX_N,因为合理状态的数量可能比N多,最大编号也就比N多了。
- 注意递归式中与\(S'\)与操作的还有\(S\)。
- 最后统计结果时,枚举S的终止条件为达到最大合理状态的编号,而不是N。注意下定义。
关于暴力
一个一个枚举国王可能在的位置。因为重合子问题\(f(r,S,k)\)被计算了多次,故不是正解。但是要做到正确,注意:
- 用来恢复现场的数据应当保存在系统栈内,而不是放在堆中供多次递归函数共用。这就错了。
- 仔细检查,防止手误。
AC代码:
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <bitset>
#include <iostream>
using namespace std;
#define ll long long
const int MAX_N = 10, MAX_K = 100;
ll F[MAX_N][1<<MAX_N][MAX_K];
int States[1<<MAX_N], State1Cnt[1<<MAX_N];
int N, StCnt, K;
void GetProperState(int n)
{
StCnt = 0;
for (int i = 0; i <= ~(~1 << n - 1); i++)
{
if (!(i << 1 & i))
{
States[StCnt] = i;
int temp = i;
while (temp)
{
if (temp & 1)
State1Cnt[StCnt]++;
temp >>= 1;
}
StCnt++;
}
}
}
void PrintBinary(ll x)
{
cout << bitset<5>(x);
}
ll DP()
{
ll ans = 0;
for (int i = 0; i <= StCnt; i++)
F[0][i][State1Cnt[i]] = 1;
for (int level = 1; level < N; level++)
for (int i = 0; i < StCnt; i++)
for (int j = 0; j < StCnt; j++)
if (!(States[i]&States[j])&&!((States[i] << 1) & States[j]) && !((States[i] >> 1) & States[j]))
for (int k = State1Cnt[i]; k <= K; k++)
F[level][i][k] += F[level - 1][j][k - State1Cnt[i]];
for (int i = 0; i < StCnt; i++)
ans += F[N - 1][i][K];
return ans;
}
int main()
{
scanf("%d%d", &N, &K);
GetProperState(N);
printf("%lld\n", DP());
return 0;
}
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