【IOI1998】Polygon 区间DP
题意翻译
题目可能有些许修改,但大意一致
多边形是一个玩家在一个有n个顶点的多边形上的游戏,如图所示,其中n=4。每个顶点用整数标记,每个边用符号+(加)或符号*(乘积)标记。
第一步,删除其中一条边。随后每一步:
选择一条边连接的两个顶点V1和V2,用边上的运算符计算V1和V2得到的结果来替换这两个顶点。
游戏结束时,只有一个顶点,没有多余的边。
如图所示,玩家先移除编号为3的边。之后,玩家选择计算编号为1的边,然后计算编号为4的边,最后,计算编号为2的边。结果是0。
(翻译者友情提示:这里每条边的运算符旁边的数字为边的编号,不拿来计算)
编写一个程序,给定一个多边形,计算最高可能的分数。
输入格式
输入描述一个有n个顶点的多边形,它包含两行。第一行是数字n,为总边数。
第二行描述这个多边形,一共有2n个读入,每两个读入中第一个是字符,第二个是数字。
第一个字符为第一条边的计算符号(t代表相加,x代表相乘),第二个代表顶点上的数字。首尾相连。
3 < = n < = 50
对于任何一系列的操作,顶点数字都在[-32768,32767]的范围内。
输出格式
第一行,输出最高的分数。在第二行,它必须写出所有可能的被清除后的边仍能得到最高得分的列表,必须严格递增。
输入输出样例
4
t -7 t 4 x 2 x 5
33
1 2
------------------------------------------------------------------- 这道题就用来练一下区间dp了
首先这是一个环状多边形,将其拆成链状处理
a[i+n]=a[i]; op[i+n]=op[i];//断链-> n*2
令 dp[l][r]表示以 l 为首项,以 r 为末项的链经过删边可以得到的最大值
然后,列出状态转移方程。这分为两部分:+和* 1.对于+,即op[i+1]=='t';
dp[l][r]=max(dp[l][k]+dp[k+1][r],dp[l][r]);
2.对于*,情况稍微复杂:因为负负得正,所以我们还需要在转移时记录下
最小值[绝对值最大],用f[i][j]记录
dp[l][r]=max( dp[l][r], max(dp[l][k]*dp[k+1][r],f[l][k]*f[k+1][r]) );
f[l][r]=min( f[l][r], min(dp[l][k]*dp[k+1][r],f[l][k]*f[k+1][r]) );
还要对边界进行处理,
令a[i]为第i个的初始值,那么:
dp[i][i]=f[i][i]=a[i];
同时,我们要先预处理长度为2的区间的答案
if(op[i+1]=='t')
dp[i][i+1]=f[i][i+1]=a[i]+a[i+1];
if(op[i+1]=='x')
dp[i][i+1]=f[i][i+1]=a[i]*a[i+1];
最后!!!输入的时候注意令人智熄的scanf!!!!!
(查错两小时
因为本题中字符和数字在一行中输入,所以
直接写scanf("%s%d",&op[i],&a[i]);会导致读到的是空格
所以要写成scanf("%d\n",&n); 和scanf("%s %d ",&op[i],&a[i]);
但是对于我来说,经常记不到的话,以后有同时输入字符和数字的时候,应该果断选择cin
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define N 120
#define INF 0x7f7f7f7f
#define ll long long
using namespace std;
ll f[N][N],dp[N][N];
int n,a[N];
char op[N];
ll ans=;
int main()
{
scanf("%d",&n);
for(int i=;i<=n;i++)
{
// scanf("%c %d ",&op[i],&a[i]);
cin>>op[i]>>a[i];
a[i+n]=a[i]; op[i+n]=op[i];//断链-> n*2
}
for(int i=;i<=n*;i++)
for(int j=i;j<=n*;j++)
f[i][j]=INF,dp[i][j]=-INF;
for(int i=;i<=n*;i++)//预处len=2
{
if(op[i+]=='t')
dp[i][i+]=f[i][i+]=a[i]+a[i+];
if(op[i+]=='x')
dp[i][i+]=f[i][i+]=a[i]*a[i+];
dp[i][i]=f[i][i]=a[i];
}
for(int len=;len<=n;len++)
for(int l=;l<=n*-len+;l++)
{
int r=l+len-;
for(int k=l;k<r;k++)
{
if(op[k+]=='t')
{
dp[l][r]=max(dp[l][k]+dp[k+][r],dp[l][r]);
f[l][r]=min(f[l][k]+f[k+][r],f[l][r]);
}
else//乘法可能有负负得正 故记录最大和最小值
{
dp[l][r]=max( dp[l][r], max(dp[l][k]*dp[k+][r],f[l][k]*f[k+][r]) );
f[l][r]=min( f[l][r], min(dp[l][k]*dp[k+][r],f[l][k]*f[k+][r]) );
}
}
}
for(int i=;i<=n;i++)
//cout<<dp[i][i+n-1]<<" ";
ans=max(ans,dp[i][i+n-]);
printf("%lld\n",ans);
for(int i=;i<=n;i++)
if(ans==dp[i][i+n-])
printf("%d ",i);
return ;
}
/*
scanf("%d\n",&n);
scanf("%c %d ",&op[i],&a[i]);
和
scanf("%d",&n);
scanf("%c%d",&op[i],&a[i]);
*/
ovo
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