2-sat 问题 【例题 Flags(2-sat+线段树优化建图)】
2024-10-21 07:45:57
序:
模拟赛考了一道 2-sat 问题。之前从来没听过……
考完才发现其实这个东东只要一个小小的 tarjan 求强连通分量就搞定了。
这个方法真是巧妙啊,拿来讲讲。
What is it? [・_・?]
这个算法是为了应对一些这样的条件:x1 与 x1 中至少有一个成立
算法:
既然是“2"-sat,那就要充分发挥 “two” 的优势,由于x1限制关系,有一些点我们选了后,有一些点就不能选了,那我们就只能选另一个点了满足 x2。
我们把 a 想它必须选的点 b 连有向边,这样就构成了一个图,判定的话,判断是否有两个不能同时存在的点在一个强连通分量中就好了!
这有一位大佬写的比我更好 OTZ
当然重点是讲模拟赛的题!
例题 Flags:
题目大意:数轴上有 n 个旗子,第 i 个可以插在坐标 xi 或者 yi,最大化两两旗子之间的最小距离。
题解:
我们可以二分答案,转化为一个 2-sat 问题。
二分最小距离 d,那么一个点 a 向左向右 d 的 b 点都不能选,那么选了 a 就必须选 b 的另一个位置,然后我们连边,最后判断是不是有一个点的两个位置是不是在一个强连通分量里,在则不能,否则可以。
这题还有一个点就是如果直接建边的话,就有 $n^2$ 条边,你会发现这题一个点的连边都是连续的,那就不妨线段树优化建图。具体思想戳这里。
CODE:
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<stack>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std; int v[];
int n,x,y,tot=,h[];
int scc[],dfn[],low[],C,cnt;
bool vis[];
struct Edge{
int x,next;
}e[];
pair<int,int> a[];
stack<int> s; inline void add_edge(int x,int y){
e[++tot].x=y;
e[tot].next=h[x],h[x]=tot;
} void tarjan(int x){
dfn[x]=low[x]=++cnt;
s.push(x),vis[x]=true;
for(int i=h[x];~i;i=e[i].next){
if(!dfn[e[i].x]){
tarjan(e[i].x),low[x]=min(low[x],low[e[i].x]);
}else if(vis[e[i].x]){
low[x]=min(low[x],dfn[e[i].x]);
}
}
if(dfn[x]==low[x]){
C++;
int tmp;
for(;;){
tmp=s.top();
vis[tmp]=false,scc[tmp]=C;
s.pop();
if(tmp==x)break;
}
}
} void build(int o,int l,int r){
if(r-l==){
add_edge(o+n*,a[l].second^);
return;
}
add_edge(o+n*,(o<<)+n*);
add_edge(o+n*,(o<<|)+n*);
int mid=l+r>>;
build(o<<,l,mid),build(o<<|,mid,r);
} void link(int o,int l,int r,int x,int y,int a){
if(l>=x&&r<=y){
add_edge(a,o+n*);
return;
}
int mid=l+r>>;
if(x<mid)link(o<<,l,mid,x,y,a);
if(y>mid)link(o<<|,mid,r,x,y,a);
} inline pair<int,int> get(int x,int len){
int l=,r=x;
pair<int,int> ans;
while(l<r){
int mid=l+r>>;
if(a[x].first-a[mid].first<len)r=mid;
else l=mid+;
}
ans.first=l;
l=x,r=n*-;
while(l<r){
int mid=l+r+>>;
if(a[mid].first-a[x].first<len)l=mid;
else r=mid-;
}
ans.second=l;
return ans;
} inline bool check(int d){
memset(scc,,sizeof(scc));
memset(dfn,,sizeof(dfn));
memset(low,,sizeof(low));
memset(h,-,sizeof(h)),tot=;
build(,,n*);
for(int i=;i<n*;i++){
int id=a[i].second;
pair<int,int> x=get(i,d);
if(i<x.second)link(,,n*,i+,x.second+,id);
if(x.first<i)link(,,n*,x.first,i,id);
}
C=cnt=;
for(int i=;i<n*;i++)if(!dfn[i])tarjan(i);
for(int i=;i<n*;i++)
if(scc[a[i].second]==scc[a[i].second^])return false;
return true;
} int main(){
scanf("%d",&n);
for(int i=;i<n;i++){
scanf("%d%d",&x,&y);
a[*i+]=make_pair(x,*i+);
a[*i]=make_pair(y,*i);
}
sort(a,a+n*);
int l=,r=;
while(l<r){
int mid=l+r+>>;
if(check(mid))l=mid;
else r=mid-;
}
printf("%d",l);
}
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