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一、集合的简化表示

在上一节集合及运算中，我们对集合使用二叉树表示，如下图所示：

为了使用二叉树，我们在上一节中使用以下代码，构造二叉树：

/* c语言实现 */

typedef struct{

  ElementType Data;

  int Parent;

} SetType;

int Find(SetType S[], ElementType X)

{

  // 在数组S中查找值为X的元素所属的集合

  // MaxSize是全局变量，为数组S的最大长度

  int i;

  for (i = 0; i < MaxSize && S[i].Data != X; i++);

  if (i >= MaxSize) return -1; // 未找到X，返回-1

  for (; S[i].Parent >= 0; i = S[i].Parent);

  return i; // 找到X所属集合，返回树根结点在数组S中的下标

}

使用二叉树构造集合，Find操作在差的情况下时间复杂度可能为\(O(n^2)\)

因此对于任何有限集合的（N个）元素都可以被一一映射为整数 0~N-1。即对于集合 {2, 5, 4, 3} 和 {6, 0, 1} 我们可以使用如下图所示的数组表示：

对于上述的数组，我们可以使用如下代码构造：

/* c语言实现 */

typedef int ElementType;  // 默认元素可以用非负整数表示

typedef int SetName; //默认用根结点的下标作为集合名称

typedef ElementType SetType[MaxSize];

SetName Find(SetType S, ElementType X)

{

  // 默认集合元素全部初始化为-1

  for (; S[X] >= 0; X = S[X]);

  return X;

}

void Union(SetType S, SetName Root1, SetName Root2)

{

  // 这里默认Root1和Root2是不同集合的根节点

  S[Root2] = Root1;

}

二、题意理解

根据输入样例，以此来判断计算机之间有多少个组成，如下图所示

上图动态变化如下图所示：

下图为五台计算机之间形成全连接状态，因此看成一个整体：

三、程序框架搭建

/* c语言实现 */

int main()

{

  初始化集合;

  do {

    读入一条指令;

    处理指令;

  } while (没结束);

  return 0;

}

int main()

{

  SetType S;

  int n;

  char in;

  scanf("%d\n", &n);

  Initialization(S, n);

  do {

    scanf("%c", &in);

    switch (in) {

      case 'I': Input_connection(S); break; // Union(Find)

      case 'C': Check_connection(S); break; // Find

      case 'S': Check_network(S, n); break; // 数集合的根，判断计算机网络的组成个数

    }

  } while (in != 'S');

  return 0;

}

3.1 Input_connection

/* c语言实现 */

void Input_connection(SetType S)

{

  ElementType u, v;

  SetName Root1, Root2;

  scanf("%d %d\n", &u, &v);

  Root1 = Find(S, u-1);

  Root2 = Find(S, v-1);

  if (Root1 != Root2)

    Union(S, Root1, Root2);

}

3.2 Check_connection

/* c语言实现 */

void Check_connection(SetType S)

{

  ElementType u, v;

  scnaf("%d %d\n", &u, &v);

  Root1 = Find(S, u-1);

  Root2 = Find(S, v-1);

  if (Root1 == Root2)

    printf("yes\n");

  else printf("no\n");

}

3.3 Check_network

/* c语言实现 */

void Check_network(SetType S, int n)

{

  int i, counter = 0;

  for (i = 0; i < n; i++){

    if (S[i] < 0) counter++;

  }

  if (counter == 1)

    printf("The network is connected.\n");

  else

    printf("There are %d components.\n", counter);

}

四、pta测试

/* c语言实现 */

typedef int ElementType;  // 默认元素可以用非负整数表示

typedef int SetName; //默认用根结点的下标作为集合名称

typedef ElementType SetType[MaxSize];

SetName Find(SetType S, ElementType X)

{

  // 默认集合元素全部初始化为-1

  for (; S[X] >= 0; X = S[X]);

  return X;

}

void Union(SetType S, SetName Root1, SetName Root2)

{

  // 这里默认Root1和Root2是不同集合的根节点

  S[Root2] = Root1;

}

对于上述的代码，如果我们放入pta中测试，会发现测试点6运行超时，如下图所示：

因此，我们会考虑是不是因为出现了某种情况，导致Root2为根结点的树过大了，因此我们修改代码为：

/* c语言实现 */

typedef int ElementType;  // 默认元素可以用非负整数表示

typedef int SetName; //默认用根结点的下标作为集合名称

typedef ElementType SetType[MaxSize];

SetName Find(SetType S, ElementType X)

{

  // 默认集合元素全部初始化为-1

  for (; S[X] >= 0; X = S[X]);

  return X;

}

void Union(SetType S, SetName Root1, SetName Root2)

{

  // 这里默认Root1和Root2是不同集合的根节点

  // S[Root2] = Root1;

  S[Root1] = Root2;

}

发现更换代码后，测试点5却运行超时了，为了解决上述问题，我们可以使用下面将要讲到了按秩归并的思想修改代码。

五、按秩归并

为什么需要按秩归并呢？因为我们使用pta测试程序，发现代码总是超时，因此我们可以考虑是否出现这种情况——我们再不断地往一颗树上累加子树，如下图所示：

/* c语言实现 */

Union(Find(2), Find(1));

Union(Find(3), Find(1));

……;

Union(Find(n), Find(1));

从上图可以看出，此过程的时间复杂度为：\(T(n) = O(n^2)\)

除了上述这种情况，会导致树的高度越来越高，如果我们把高树贴在矮树上，那么树高也会快速增长，因此我们应该考虑把矮树贴在高数上。

对于上述问题的解决，我们给出以下两个解决方法，这两种方法统称为按秩归并。

5.1 方法一：树高替代

为了解决上述问题，我们可以把根结点从-1替代为-树高，代码如下：

/* c语言实现 */

if ( Root2高度 > Root1高度 )

	S[Root1] = Root2;

else {

  if ( 两者等高 ) 树高++;

  S[Root2] = Root1;

}

if ( S[Root2] < S[Root1] )

	S[Root1] = Root2;

else {

  if ( S[Root1]==S[Root2] ) S[Root1]--;

  S[Root2] = Root1;

}

5.2 方法二：规模替代

为了解决上述问题，我们也可以把根结点从**-1替代为-元素个数（把小树贴到大树上），代码如下：

/* c语言实现 */

void Union( SetType S, SetName Root1, SetName Root2 )

{

  if ( S[Root2]<S[Root1] ){

  S[Root2] += S[Root1];

  S[Root1] = Root2;

  } else {

    S[Root1] += S[Root2];

    S[Root2] = Root1;

  }

}

六、路径压缩

对于上述代码超时的问题，我们也可以使用路径压缩的方法优化代，即压缩给定元素到集合根元素路径中的所有元素，详细情况如下图所示：

上图代码可表示为：

/* c语言实现 */

SetName Find(SetType S, ElementType X)

{

  // 找到集合的根

  if (S[X] < 0)

    return X;

  else

    return S[X] = Find(S, S[X]);

}

总之上述代码干了这三件事：

先找到根；
把根变成X的父结点；
再返回根

因此，路径压缩第一次执行的时间比较长，但是如果频繁使用查找命令，第一次将路径压缩，大大减小树的高度，后续查找速度将大大增加

6.1 路径压缩时间复杂度计算

由于pta并没有严格控制时间限制，使用java这种语言，不使用路径压缩，问题不大，我写这个也只是为了回顾算法，来放松放松，不是为了折腾自己，因此。

给你一个眼神自己体会，给你一个网址亲自体会https://www.icourse163.org/learn/ZJU-93001?tid=1206471203#/learn/content?type=detail&id=1211167097&sm=1，我是懒得研究下图所示了。

巴特西

小白专场-FileTransfer-c语言实现