多重网格方法(Multigridmethod)
多重网格方法是解微分方程的方法。这个方法的好处是在利用迭代法收敛结果的时候速度特别快。并且,不管是否对称,是否线性都无所谓。它的值要思想是在粗糙结果和精细结果之间插值。
前面介绍了Gauss–Seidel方法和Jacobi 方法,现在再用这两个方法来举例。尽管Gauss–Seidel (GS)方法converge更快一些,但其实对于维度很高的系统都很慢。Multigrid(MG)方法的思路是先把问题粗糙化,把原网格投影到一个比较简单的新网格上计算,等到快速收敛以后再经由Interpolation(插值)返回原来的系统。
对于某个工程数学问题(如泊松方程),可以归纳为线形方程Ax = b, A为n X n矩阵。那么,最终目的是得到所谓的x = A^(-1)b。定义e(t) = x – x(t),当e(t)为小于某个值的时候,可以认为xconverge到了合适的值。但实际上我们比较的是相邻的值。
把A非奇异分解A = B – C,
Bx – Cx = b
x = B(-1) Cx + B^(-1) b
并分开求解x
Bx(t+1) - Cx(t)= b
x(t+1) = B^(-1) Cx(t) + B^(-1) b -(1)
把形如B^(-1) C的矩阵称作迭代矩阵,用M表示。
容易发现,
x(t+1) – x = Mx(t) + B^(-1) b – x = Mx(t) +Mx = M (x(t) – x) -(2)
以上式子与(1)式等价。
另外可令N = B^(-1):
x(t+1) = Mx(t) + Nb - (3)
不同的迭代方法其实就是A的不同分解法,反映到(3)式就是取不同的M和N值。
比如,在GS方法中B = D – L, C = U, 则(3)式为:
x(t+1) = (D - L)^(-1)Ux(t) + (D - L)^(-1)b - (4)
分析发现,当n的数值比较大时,以上收敛是极其缓慢的。假设p(i) 是序号为i的原系统有限元基函数(i = 1, 2, … , n),q(i)是粗糙化的网格(i = 1,2, … , m m<n).
一种粗糙化方法是构造矩阵H,使p = H * q, H为m X n矩阵。令A’ = HAH^T, x’ = Hx, b’ = Hb. 则 A’ x’ = b’ 是一个m维粗化的网格系统。
更加具体来说,对于一个k维的问题,如果k小于一个指定的维数,那么直接用jacob等方法解救可以了。否则,粗糙化为更低的维度比如变为原来的二分之一,最后再把维数变回来。把mesh粗糙化的过程叫做Downv-cycle (从k维到k/2维), 反之叫Up v-cycle.(从k维到2k维)。
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