题面

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思路

首先，有一个结论：两个手环增加非负整数亮度，等于其中一个增加一个整数亮度（可以为负）

我们令增加量为$x$，旋转以后的原数列为${a}{b}$那么现在的费用就是：

$\sum_{i=1}^{n\left(a_i+x-b_i\right)}2$

我们把第i项拿出来拆开，得到：

$\left(a_i+x-b_i\right)^2=a_i2+b_i^2+x2+2a_ix-2a_ib_i-2b_ix$

那么原式变成了

$\sum_{i=1}^na_i2+\sum_{i=1}^nb_i2+nx^{2+2x\left(\sum_{i=1}}na_i-\sum_{i=1}^{nb_i\right)-2\sum_{i=1}}na_ib_i$

我们发现，这个式子除了最后一项之外都是确定的QwQ

那么我们只要令最后一项最大，那么就可以得到最小的费用值了

现在问题转化为求$\sum_{i=1}^na_ib_i$的最大值

等等，这个形式......

我们把数列${a}$反过来，变成

$\sum_{i=1}^na_{n-i+1}b_i$

这不是一个卷积吗~

所以把反过来的数列${a}$倍长，和数列${b}$卷积，得到的项里面的第n+1到n*2项的最大值，就是$\sum_{i=1}^na_ib_i$的最大值

然后把前面的不变项加上，就是答案了

Code：

#include<iostream>

#include<cstdio>

#include<cstring>

#include<algorithm>

#include<cmath>

#define ll long long

#define inf 1e15

using namespace std;

inline int read(){

    int re=0,flag=1;char ch=getchar();

    while(ch>'9'||ch<'0'){

        if(ch=='-') flag=-1;

        ch=getchar();

    }

    while(ch>='0'&&ch<='9') re=(re<<1)+(re<<3)+ch-'0',ch=getchar();

    return re*flag;

}

struct complex{

    double x,y;

    complex(double xx=0,double yy=0){x=xx;y=yy;}

    complex operator +(const complex &b){return complex(x+b.x,y+b.y);}

    complex operator -(const complex &b){return complex(x-b.x,y-b.y);}

    complex operator *(const complex &b){return complex(x*b.x-y*b.y,x*b.y+y*b.x);}

}A[400010],B[400010];

const double pi=acos(-1.0);

int n,m,limit=1,cnt=0,r[400010];

void fft(complex *a,double type){

    int i,j,mid,k;complex x,y,w,wn;

    for(i=0;i<limit;i++) if(i<r[i]) swap(a[i],a[r[i]]);

    for(mid=1;mid<limit;mid<<=1){

        wn=complex(cos(pi/mid),type*sin(pi/mid));

        for(j=0;j<limit;j+=(mid<<1)){

            w=complex(1,0);

            for(k=0;k<mid;k++,w=w*wn){

                x=a[j+k];y=w*a[j+k+mid];

                a[j+k]=x+y;a[j+k+mid]=x-y;

            }

        }

    }

}

ll a1=0,a2=0,b1=0,b2=0,ans=inf;

int a[100010],b[100010];

int main(){

    ll i,j;

    n=read();m=read();

    for(i=1;i<=n;i++){

        a[i]=read();

        a1+=a[i]*a[i];a2+=a[i];

    }

    for(i=1;i<=n;i++){

        b[i]=read();

        b1+=b[i]*b[i];b2+=b[i];

    }

    for(i=1;i<=n;i++){

        A[i].x=A[i+n].x=a[i];

        B[i].x=b[n-i+1];

    }

    while(limit<=(n*3)) limit<<=1,cnt++;

    for(i=0;i<limit;i++) r[i]=((r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(cnt-1)));

    fft(A,1);fft(B,1);

    for(i=0;i<=limit;i++) A[i]=A[i]*B[i];

    fft(A,-1);

    for(i=0;i<=limit;i++) A[i].x=(ll)(A[i].x/limit+0.5);

    for(i=1;i<=n;i++){

        for(j=-m;j<=m;j++){

            ans=min(ans,a1+b1+j*j*n+2ll*j*(a2-b2)-2ll*(ll)A[i+n].x);

        }

    }

    printf("%lld",ans);

}

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$\sum_{i=1}^{n\left(a_i+x-b_i\right)}2$

$\left(a_i+x-b_i\right)^2=a_i2+b_i^2+x2+2a_ix-2a_ib_i-2b_ix$

$\sum_{i=1}^na_i2+\sum_{i=1}^nb_i2+nx^{2+2x\left(\sum_{i=1}}na_i-\sum_{i=1}^{nb_i\right)-2\sum_{i=1}}na_ib_i$

现在问题转化为求$\sum_{i=1}^na_ib_i$的最大值

$\sum_{i=1}^na_{n-i+1}b_i$

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$\sum_{i=1}na_i2+\sum_{i=1}nb_i2+nx2+2x\left(\sum_{i=1}na_i-\sum_{i=1}nb_i\right)-2\sum_{i=1}na_ib_i$

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