【模拟7.14】B. 熟练剖分(tree) (概率DP)
2024-09-08 10:24:24
一道概率神题,考试时没读清题考完看了学长的玄学题解看了好几个小时
首先f[i][j]表示在点 i 为根的子树中,向下最长轻链长度小于等于 j 的概率。
首先递归下去并求出子树大小,然后枚举重儿子,枚举该点最长轻链长度,再次枚举儿子节点并逐个
假设当前枚举的重儿子是to1,枚举到儿子节点to2,x最长轻链长度为k,设gs为v(to2)之前考虑的儿子中最长轻链长度为k的概率如果v(to1)=v(to2)即v(to2)为重儿子,则设fs为以v(to2)为根的子树最长轻链长度为k的概率:
h[k]=(fs*g[k]%mod+gs*f[to2][k]%mod-gs*fs+mod)%mod;
如果v(to2)是轻儿子,则设fs为以v(to2)为根的子树最长轻链长度为k-1的概率,
h[k]=(fs*g[k]%mod+gs*f[to2][k-1]%mod-gs*fs+mod)%mod;
只是x与to2相连的这条边为轻链所以有减1,值得提醒的一点是这里的f[x][k]并不是最终的f[x][k],只是考虑到当前几个儿子时的值,一个儿子一个儿子地向里加。考虑到f数组直接改的话会错,所以用h数组保存,最后加到g数组中清空h,当to1为重儿子这个情况考虑玩后将g数组加到f中去,清空g。当前节点x求完后,此时的f数组并不是前缀和,所以需要再次转化。
最后求答案时再次将前缀和转化为单个的值
至于此题为啥求概率却用一堆整数想乘是因为题目要求
我们发现每一层的1/chu[x]即为分母,所以可以直接乘逆元,而这样的相加不会影响结果
所以最后i*f[x][i]就是期望。
1 #include<iostream>
2 #include<cstdio>
3 #include<cstring>
4 #include<string>
5 #include<algorithm>
6 #include<vector>
7 #include<cmath>
8 #include<stack>
9 #include<queue>
10 #define MAXN 3101
11 #define ll long long
12 using namespace std;
13 const ll mod=1e9+7;
14 struct node{ll to,n;}e[MAXN];
15 ll head[MAXN],tot;
16 void add(ll u,ll v){e[++tot].to=v;e[tot].n=head[u];head[u]=tot;}
17 ll size[MAXN];
18 ll f[MAXN][MAXN],g[MAXN],h[MAXN];
19 ll n;ll chu[MAXN];
20 ll pow(ll x,ll y)
21 {
22 ll ans=1;
23 while(y)
24 {
25 if(y&1)ans=(ans*x)%mod;
26 x=(x*x)%mod;
27 y>>=1;
28 }
29 return ans%mod;
30 }
31 void DFS(ll x)
32 {
33 size[x]=1;
34 for(ll i=head[x];i;i=e[i].n)
35 {
36 ll to=e[i].to;
37 DFS(to);
38 size[x]+=size[to];
39 }
40 ll ppow=pow(chu[x],mod-2ll)%mod;
41 for(ll i=head[x];i;i=e[i].n)
42 {
43 for(ll i=0;i<=size[x]+1;++i)g[i]=1;
44 for(ll j=head[x];j;j=e[j].n)
45 {
46 ll fs,gs;
47 ll to1=e[i].to;ll to2=e[j].to;
48 for(ll k=0;k<=size[to2]+1;++k)
49 {
50 if(to1==to2){
51 if(!k)fs=f[to2][k];else fs=f[to2][k]-f[to2][k-1];
52 if(!k)gs=g[k]; else gs=g[k]-g[k-1];
53 h[k]=(fs*g[k]%mod+gs*f[to2][k]%mod-gs*fs+mod)%mod;
54 // printf("h[%lld]=%lld\n",k,h[k]);
55 }
56 else if(k){
57 if(!k)fs=f[to2][k-1];else fs=f[to2][k-1]-f[to2][k-2];
58 if(!k)gs=g[k]; else gs=g[k]-g[k-1];
59 h[k]=(fs*g[k]%mod+gs*f[to2][k-1]%mod-gs*fs+mod)%mod;
60 }
61 }
62 g[0]=h[0];h[0]=0;
63 for(ll k=1;k<=size[to2]+1;++k)
64 {
65 g[k]=(g[k-1]+h[k])%mod;h[k]=0;
66 }
67 }
68 for(ll j=size[x]+1;j>=1;--j)
69 {
70 g[j]=(g[j]-g[j-1]+mod)%mod;//printf("g[%lld]=%lld\n",j,g[j]);
71 }
72 for(ll j=0;j<=size[x]+1;++j)
73 {
74 f[x][j]=(f[x][j]+g[j]*ppow%mod)%mod;
75 // printf("f[%lld][%lld]=%lld\n",x,j,f[x][j]);
76 }
77 // printf("p=%lld\n",pow(chu[x],mod-2ll));
78 }
79 if(head[x]==0)f[x][0]=1;
80 for(ll i=1;i<=size[x]+1;++i)
81 {
82 f[x][i]=(f[x][i]+f[x][i-1]+mod)%mod;
83 // printf("f[%lld][%lld]=%lld\n",x,i,f[x][i]);
84 }
85 }
86 ll ru[MAXN];ll si=1;
87 int main()
88 {
89 scanf("%lld",&n);
90 for(ll i=1;i<=n;++i){
91 scanf("%lld",&chu[i]);
92 for(ll j=1;j<=chu[i];++j){
93 ll y;
94 scanf("%lld",&y);
95 add(i,y);ru[y]++;
96 }
97 }
98 ll root=0;
99 for(ll i=1;i<=n;++i){
100 if(ru[i]==0)
101 root=i;
102 }
103 DFS(root);
104 ll ans=0;
105 for(ll i=1;i<=size[root]+1;++i)
106 {
107 ans=(ans+i*(f[root][i]-f[root][i-1]%mod)+mod)%mod;
108 }
109 printf("%lld\n",(ans+mod)%mod);
110 }
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