Codeforces 1392H - ZS Shuffles Cards（DP+打表找规律）

真·两天前刚做过这场的 I 题，今天模拟赛就考了这场的 H 题，我怕不是预言带师

提供一种奇怪的做法，来自于同机房神仙们，该做法不需要 Min-Max 容斥，也不用爆推组合数，只需要比较强的眼力的初中数学求解二元一次方程组知识。

期望题没往 Min-Max 容斥的方向去想，不愧是我（大雾

首先我们先考虑一些复杂度比较高的多项式复杂度做法。注意到对于任何一个局面而言，我们并不用关心 \(S\) 里究竟具体有哪些数，也不用关心牌堆中具体有哪些数字牌，我们只用关心有多少个数在 \(S\) 中，以及牌堆中还剩多少张牌。因此我们可以设 \(dp_{i,j}\) 表示牌堆中还剩 \(i\) 张牌，\(S\) 中已经有 \(j\) 个数，期望还需多少步，那么：

对于 \(j\ne n\)，下一次摸出一张牌，有三种可能：
- 摸出一张数字牌，且不在 \(S\) 中，概率 \(\dfrac{n-j}{i+m}\)，并且会到达状态 \(dp_{i-1,j+1}\)，因此 \(dp_{i,j}\leftarrow dp_{i-1,j+1}·\dfrac{n-j}{i+m}\)
- 摸出一张数字牌，且在 \(S\) 中，概率 \(\dfrac{i+j-n}{i+m}\)，并且会到达状态 \(dp_{i-1,j}\)，因此 \(dp_{i,j}\leftarrow dp_{i-1,j}·\dfrac{i+j-n}{i+m}\)
- 摸出一张鬼牌，概率 \(\dfrac{m}{i+m}\)，并且会到达状态 \(dp_{n,j}\)，因此 \(dp_{i,j}\leftarrow dp_{n,j}·\dfrac{m}{i+m}\)。
别忘了加上最后的 \(1\)，因此对于 \(j\ne 0\) 的情况我们有转移方程 \(dp_{i,j}=dp_{i-1,j+1}·\dfrac{n-j}{i+m}+dp_{i-1,j}·\dfrac{i+j-n}{i+m}+dp_{n,j}·\dfrac{m}{i+m}+1\)。
对于 \(j=n\) 的情况就比较 trivial 了，如果摸出一张数字牌那么会到达 \(dp_{i-1,j}\)，否则直接结束，因此 \(dp_{i,n}=dp_{i-1,n}·\dfrac{i}{i+m}+1\)

最终答案即为 \(dp_{n,0}\)

由于 DP 转移存在后效性，因此直接转移不可取，考虑高斯消元，直接高斯消元是六方的，不过注意到对于一个 \(dp_{i,j}\) 而言，如果我们倒着枚举 \(j\)，那么我们就只用对 \(j\) 相同的这一行的值进行高斯消元，复杂度 \(n^4\)。还可以进一步优化，就是注意到在我们倒序枚举的过程中 \(dp_{i-1,j+1}·\dfrac{n-j}{i+m}\) 是常数不用管它，如果我们不考虑这个 \(dp_{n,j}\) 那转移关系不成环就不存在后效性，而加上这个 \(dp_{n,j}\)，由于导致这个后效性的只有 \(dp_{n,j}\)，我们就可以考虑将所有 \(dp_{i,j}\) 都表示成 \(sdp_{n,j}+t\) 的形式，这样顺着一遍推过去，最后可以得到 \(dp_{n,j}=sdp_{n,j}+t\)，解出 \(dp_{n,j}\) 后再推回去即可，这个套路可以在这道题中找到，时间复杂度 \(n^2\)，反正还是过不去（

附：\(n^2\) 的代码：

const int MAXN=1000;

const int MOD=998244353;

int qpow(int x,int e){

	int ret=1;

	for(;e;e>>=1,x=1ll*x*x%MOD) if(e&1) ret=1ll*ret*x%MOD;

	return ret;

}

int n,m,dp[MAXN+5][MAXN+5];

int main(){

//	freopen("toad.in","r",stdin);

//	freopen("toad.out","w",stdout);

	scanf("%d%d",&n,&m);

	dp[0][n]=1;

	for(int i=1;i<=n;i++) dp[i][n]=(1ll*i*qpow(i+m,MOD-2)%MOD*dp[i-1][n]+1)%MOD;

	for(int j=n-1;~j;j--){

		int cs=0,ct=0;

		for(int i=n-j;i<=n;i++){

			int coef1=1ll*m*qpow(i+m,MOD-2)%MOD;

			int coef2=1ll*(i+j-n+MOD)*qpow(i+m,MOD-2)%MOD;

			int coef3=1ll*(n-j)*qpow(i+m,MOD-2)%MOD;

			cs=1ll*cs*coef2%MOD;ct=1ll*(ct+1)*coef2%MOD;

			ct=(ct+1ll*(dp[i-1][j+1]+1)*coef3)%MOD;

			cs=(cs+coef1)%MOD;ct=(ct+coef1)%MOD;

		} dp[n][j]=1ll*ct*qpow((1-cs+MOD)%MOD,MOD-2)%MOD;//dp[n][j]=cs*dp[n][j]+ct

		for(int i=n-j;i<n;i++){

			int coef1=1ll*m*qpow(i+m,MOD-2)%MOD;

			int coef2=1ll*(i+j-n+MOD)*qpow(i+m,MOD-2)%MOD;

			int coef3=1ll*(n-j)*qpow(i+m,MOD-2)%MOD;

			dp[i][j]=(1ll*(dp[i-1][j]+1)*coef2+1ll*(dp[i-1][j+1]+1)*coef3%MOD+1ll*(dp[n][j]+1)*coef1)%MOD;

//			printf("%d %d %d\n",i,j,dp[i][j]);

		} //printf("%d %d %d\n",n,j,dp[n][j]);

	} printf("%d\n",dp[n][0]);

	return 0;

}

接下来考虑进一步优化。这里就要一些观察了，打个表可以发现，对于 \(j\) 相同的 \(dp_{i,j}\) 而言随着 \(i\) 的增大 \(dp_{i,j}\) 成等差数列，换句话说所有 \(dp_{i,j}\) 都可以写成 \(k_ji+b_j\) 的形式。证明不会，大概可以归纳（？）（大概就发现 \(dp_{i,n}\) 是等差数列，而 \(dp_{i,j}\) 只从 \(dp_{i,j+1}\) 推来，这就天然地形成了归纳的模型，但具体怎么归纳我也没想出来）。这样对于每一个 \(j\)，我们只用确定 \(dp_{n,j}\) 和 \(dp_{n-1,j}\)，所有 \(dp_{i,j}\) 都确定了，方便起见这里假设 \(dp_{i,j}=y_j(n-i)+x_j\)，这样我们可以列出这样两个方程组：

\[\begin{cases}
x_j=dp_{n-1,j+1}·\dfrac{n-j}{n+m}+(x_j+y_j)·\dfrac{j}{n+m}+x_j·\dfrac{m}{n+m}+1\\
x_j+y_j=dp_{n-2,j+1}·\dfrac{n-j}{n+m-1}+(x_j+2y_j)·\dfrac{j-1}{n+m-1}+x_j·\dfrac{m}{n+m-1}+1
\end{cases}
\]

把 \(x_j,y_j\) 解出来即可。

时间复杂度 \(n\log n\)，好像做不到 \(\mathcal O(n)\)

const int MAXN=2e6;

const int MOD=998244353;

int qpow(int x,int e){

	int ret=1;

	for(;e;e>>=1,x=1ll*x*x%MOD) if(e&1) ret=1ll*ret*x%MOD;

	return ret;

}

int n,m,x[MAXN+5],y[MAXN+5],f[MAXN+5];

int calc(int i,int j){return (x[j]+1ll*(n-i)*y[j]%MOD)%MOD;}

int main(){

	scanf("%d%d",&n,&m);int ivn=qpow(n+m,MOD-2),ivn1=qpow(n-1+m,MOD-2);

	f[0]=1;for(int i=1;i<=n;i++) f[i]=(1ll*i*qpow(i+m,MOD-2)%MOD*f[i-1]+1)%MOD;

	x[n]=f[n];y[n]=(f[n-1]-f[n]+MOD)%MOD;

	for(int j=n-1;j;j--){

		int a1=1ll*(n-j)*ivn%MOD;

		int b1=(MOD-1ll*j*ivn%MOD)%MOD;

		int c1=1ll*(n-j)*ivn%MOD*calc(n-1,j+1)%MOD;

		int a2=1ll*(n-j)*ivn1%MOD;

		int b2=(1-1ll*(j-1+MOD)*2*ivn1%MOD+MOD)%MOD;

		int c2=1ll*(n-j)*ivn1%MOD*calc(n-2,j+1)%MOD;

		(c1+=1)%=MOD;(c2+=1)%=MOD;

		y[j]=1ll*(1ll*c1*a2%MOD-1ll*c2*a1%MOD+MOD)*qpow((1ll*b1*a2%MOD-1ll*b2*a1%MOD+MOD)%MOD,MOD-2)%MOD;

		x[j]=1ll*(c1-1ll*y[j]*b1%MOD+MOD)*qpow(a1,MOD-2)%MOD;

	} printf("%d\n",1ll*(1ll*calc(n-1,1)*n%MOD*ivn%MOD+1ll*m*ivn%MOD)*qpow(n,MOD-2)%MOD*(n+m)%MOD+1);

	return 0;

}

巴特西

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