poj_3468: A Simple Problem with Integers （树状数组区间更新）

　　　题目是对一个数组，支持两种操作

　　　　操作C：对下标从a到b的每个元素，值增加c；

　　　　操作Q：对求下标从a到b的元素值之和。

　　这道题也可以用线段树解，本文不做描述，下面分析如何用树状数组来解决这道题。

　　/*先把问题简化一点，因为结果=初值+增量，所以，我们可以只对增量进行分析。然后，这种题有一个特点，就是如果对一般的一个操作C与操作查询前缀和的组合符合条件，那么无论进行多少次任意操作结果都是正确的。故假设，先进行一次参数分别为 l,r,c 的操作C，再进行一次查询前缀和S_i的操作(i 与l r的大小关系不定）。操作C之后，对S_i，①当i<l时，S_i=0，②当l<=i<r时，S_i=c*(i-l+1)，③当i>=r时，S_i=c*(r-l+1)。要使情况①③满足比较简单，只需使add操作不在l左边进行，且对一树状数组的l和r分别进行+x+c*(r-l+1),-x的操作；而分析如何满足情况②，可以把S_i看作是分布在直线y=c(x-l)=cx-cl上的一系列散点，易看出实现+cx的方法，就是在l执行add c的操作，在r执行add -c的操作，查询时查询sum()*x，而实现-cl的方法可以与上面“分别进行+x+c*(r-l+1),-x的操作”（引号中的x是不确定的）联系起来得出。故而任意S_i都可以得出。*/

 #include <cstdio>

 typedef long long LL;

 const int maxn =1e5+;

 LL a[][maxn];

 LL psum[maxn];

 int n;

 inline int lowbit(int x)

 {

     return x&-x;

 }

 void add(LL a[],int x,int d)

 {

     while(x<=n)

     {

         a[x]+=d;

         x+=lowbit(x);

     }

 }

 LL sum(LL a[],int x)

 {

     LL ret=;

     while(x)

     {

         ret+=a[x];

         x-=lowbit(x);

     }

     return ret;

 }

 LL query(int x)

 {

     return sum(a[],x)*x+sum(a[],x);

 }

 int main()

 {

     int q;

     scanf("%d%d",&n,&q);

     for(int i=;i<=n;i++)

     {

         scanf("%I64d",&psum[i]);

         psum[i]+=psum[i-];

     }

     char op[];

     while(q--)

     {

         int l,r;

         scanf("%s%d%d",op,&l,&r);

         if(op[]=='Q')

             printf("%I64d\n",query(r)-query(l-)+psum[r]-psum[l-]);

         else

         {

             int c;

             scanf("%d",&c);

             add(a[],l,c);

             add(a[],r,-c);

             add(a[],l,c*(-l+));

             add(a[],r,c*r);

         }

     }

 }

//上面内容废弃，以下解析为2018.05.30更新

假设数组用a[]表示，定义辅助数组s[]、d[]，其具体含义为

且s[]、d[]间有如下关系

原题中对a[]的区间修改，可以视为对d[]的单点修改，而s[]又可以由d[i]、i*d[i]的前缀和推导出来。且维护s1[]、s2[]较容易，因为每次操作都是对d[]进行单点修改。具体可以参考以下代码

#include<cstdio>

#include<cstring>

#include<cstdlib>

#include<algorithm>

#include<functional>

#include<iostream>

#include<cmath>

#include<cctype>

#include<ctime>

using namespace std;

typedef long long LL;

const int N=1e5+;

LL s1[N],s2[N];

int n,q;

inline int lowbit(int x)

{

    return x&-x;

}

void add(LL a[],int i,LL x)

{

    while(i<=n)

    {

        a[i]+=x;

        i+=lowbit(i);

    }

}

LL sum(LL a[],int i)

{

    LL ret=;

    while(i)

    {

        ret+=a[i];

        i-=lowbit(i);

    }

    return ret;

}

void Add(int i,LL x)

{

    add(s1,i,x*i),add(s2,i,x);

}

LL Sum(int i)

{

    return -sum(s1,i)+(i+)*sum(s2,i);

}

int main()

{

    scanf("%d%d",&n,&q);

    for(int i=;i<=n;i++)

    {

        LL t;

        scanf("%lld",&t);

        Add(i,t),Add(i+,-t);

    }

    while(q--)

    {

        int l,r;

        char op[];

        scanf("%s%d%d",op,&l,&r);

        if(op[]=='Q')

            printf("%lld\n",Sum(r)-Sum(l-));

        else

        {

            LL t;

            scanf("%lld",&t);

            Add(l,t),Add(r+,-t);

        }

    }

}

巴特西

poj_3468: A Simple Problem with Integers （树状数组区间更新）

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