1025: [SCOI2009]游戏
2024-08-31 06:27:11
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Description
windy学会了一种游戏。对于1到N这N个数字,都有唯一且不同的1到N的数字与之对应。最开始windy把数字按
顺序1,2,3,……,N写一排在纸上。然后再在这一排下面写上它们对应的数字。然后又在新的一排下面写上它们
对应的数字。如此反复,直到序列再次变为1,2,3,……,N。
如: 1 2 3 4 5 6 对应的关系为 1->2 2->3 3->1 4->5 5->4 6->6
windy的操作如下
1 2 3 4 5 6
2 3 1 5 4 6
3 1 2 4 5 6
1 2 3 5 4 6
2 3 1 4 5 6
3 1 2 5 4 6
1 2 3 4 5 6
这时,我们就有若干排1到N的排列,上例中有7排。现在windy想知道,对于所有可能的对应关系,有多少种可
能的排数。
Input
包含一个整数N,1 <= N <= 1000
Output
包含一个整数,可能的排数。
Sample Input
【输入样例一】
3
【输入样例二】
10
3
【输入样例二】
10
Sample Output
【输出样例一】
3
【输出样例二】
16
3
【输出样例二】
16
这其实更像一道数学题。。。
以题目中N=6为例:
1 2 3 4 5 6 对应的关系为 1->2 2->3 3->1 4->5 5->4 6->6
可以划分为(1,2,3) (4,5) (6) 三个循环节,模拟计算几组数据后发现都可以划分为这样的循环节
循环节的长度之和正好等于N,(即:3+2+1=6),而一个可能的排数等于LCM(循环节长度),即所有循环节长度的公倍数+1
因此问题转化为:和为N的一串数,求它们的最小公倍数,而这一串数可以继续分解成更小的数(即这一串数不是固定的),并继续求最小公倍数,所有可能的最小公倍数的总数,即为方案数
如:
一串数 最小公倍数
6 6
5 1 5
4 2 4
4 1 1 4
3 3 3
。。。。。。
最终可以发现可行的最小公倍数是:1,2,3,4,5,6,这六种,因此答案为6
而怎么求这一串数又成了问题,这里可以反过来思考,一个可行的最小公倍数需要满足的条件。
最小公倍数一定是一个合数,而一个合数可以分解为多个质数的积,那么最小公倍数的一个因数就是多个质数相乘后的积,并且需要满足所有因数的和小于等于N
因此可以得到最小公倍数Z=a1^b1 × a2^b2 × a3^b3 × ...(a为质数),如6=3^1 × 2^1
等于N我们都知道,至于为什么可以小于N,假设N=6为例,其中一种可行的最小公倍数,6=3^1×2^1,而3+2≤6。
因为作为这一串数:
一串数 最小公倍数
3 2 1 6
可以补1这种情况。
接下来就要用到动态规划,设f[i][j],i表示前i个质数,j表示因数的和,表示前i个质数,因数和小于等于N的情况总数
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
using namespace std; #define LL long long const int MAXN=;
int cnt=,prime[MAXN];
int n;
LL ans,f[][];
void Prime(int x)
{
bool mark[MAXN];
for(int i=;i<=x;i++)
{
if(!mark[i]) prime[++cnt]=i;
for(int j=;j<=cnt&&prime[j]*i<=x;j++)
{
mark[prime[j]*i]=;
if(i%prime[j]==) break;
}
}
} int main()
{
scanf("%d",&n);
Prime(n);
f[][]=;
for(int i=;i<=cnt;i++)
for(int j=;j<=n;j++)
{
f[i][j]+=f[i-][j];
for(int k=prime[i];k<=j;k*=prime[i])
f[i][j]+=f[i-][j-k];
}
for(int i=;i<=n;i++)
ans+=f[cnt][i];
cout<<ans<<endl;
return ;
}
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