XDU 1098 (欧拉函数模板题)

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欧拉函数：φ(N)表示对一个正整数N，欧拉函数是小于N且与N互质的数的个数
通式：φ(x) = x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)…..(1-1/pn)
其中p1, p2……pn为x的所有质因数，x是不为0的整数。
注意：将n分解为最简质因数，每种质因数只用一次。
比如 12 = 2*2*3，那么 φ(12) = 12 * (1-1/2) * (1-1/3) = 4（1，5，7，11）
若 n = p^k ( p为质数 )，则 φ(n) = p^k-p^(k-1) = (p-1)p^(k-1)
特例，若n = p（k=1， p 为质数），则 φ(n) = p-p^(1-1) = p-1。
因为质数p除了1以外的因数只有p，故1至p的整数只有p与p不互质

一些欧拉函数的性质：
① N是不为0的整数。φ(1)=1（唯一和1互质的数就是1本身）
② 除了N=2,φ(N)都是偶数.
③ 小于N且与N互质的所有数的和是φ(n)*n/2。
④ 欧拉函数是积性函数——若m,n互质，φ(m*n)=φ(m)*φ(n)。
⑤ 当N为奇数时，φ(2*N)=φ(N)
⑥若N=p^k，φ(N)=p^k-p^(k-1)=(p-1)p^(k-1)，因为除了p的倍数外，其他数都跟N互质。
⑦ 当N是质数时，φ(N) = N-1
相关性质证明参考：http://blog.csdn.net/yxuanwkeith/article/details/52387873
PPT讲解：http://max.book118.com/html/2016/1025/60637698.shtm
由于一个数n的质因数一定小于等于sqrt(n)，所以时间复杂度O(sqrt(n))

#include<cstdio>

/*素数筛

phi[maxn]打表

int p[maxn];

void phi()

{

    for(int i=1;i<maxn;i++) p[i]=i;

    for(int i=2;i<maxn;i++){

        if(p[i]==i){

            for(int j=i;j<maxn;j+=i)

                p[j]-=p[j]/i;

        }

    }

}

*/

int phi(int x)

{

    int ans=x;

    for(int i=;i*i<=x;i++){

        if(x%i==)

            ans-=ans/i;

        while(x%i==)   x/=i;

    }//每种质因数只用一次

    if(x>)

        ans-=ans/x;

    return ans;

}

int main()

{

    int n;

    while(scanf("%d",&n)!=EOF)

        printf("%d\n",phi(n));

}

巴特西

XDU 1098 (欧拉函数模板题)

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