费马平方和定理&&斐波那契恒等式&&欧拉四平方和恒等式&&拉格朗日四平方和定理

费马平方和定理

费马平方和定理的表述是：奇素数能表示为两个平方数之和的充分必要条件是该素数被4除余1.

1. 如果两个整数都能表示为两个平方数之和的形式，则他们的积也能表示为两个平方数之和的形式。

$$\begin{aligned}\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(c^{2}+d^{2}\right) &=a^{2} c^{2}+a^{2} d^{2}+b^{2} c^{2}+b^{2} d^{2} \\ &=\left(a^{2} c^{2}+b^{2} d^{2}-2 a b c d\right)+\left(a^{2} d^{2}+b^{2} c^{2}+2 a b c d\right) \\ &=(a c-b d)^{2}+(a d+b c)^{2} \end{aligned}$$

2. 如果一个能表示为两个平方数之和的整数，能被另一个能表示为两个平方数之和的素数整除，则他们的商也能表示为两个平方数之和。

即 $\frac{a^{2}+b^{2}}{p^{2}+q^{2}}=\left(\frac{q p+b q}{p^{2}+q^{2}}\right)^{2}+\left(\frac{a q-b p}{p^{2}+q^{2}}\right)^{2}$

3.如果 $a$ 和 $b$ 互质，则 $a^2+b^2$ 的所有因子都能表示成两个平方数之和

4. 任何形如 $4n+1$ 的素数都能表示为两个平方数之和的形式

婆罗摩笈多－斐波那契恒等式

婆罗摩笈多-斐波那契恒等式是以下的恒等式：

$$\begin{aligned}\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(c^{2}+d^{2}\right) &=(a c-b d)^{2}+(a d+b c)^{2} \\ &=(a c+b d)^{2}+(a d-b c)^{2} \end{aligned}$$

这个恒等式说明了如果有两个数都能表示为两个平方数的和，则这两个数的积也可以表示为两个平方数的和。例如，

欧拉四平方和定理

欧拉四平方和恒等式说明，如果两个数都能表示为四个平方数的和，则这两个数的积也能表示为四个平方数的和。等式为：

$$\begin{aligned}\left(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+a_{4}^{2}\right)\left(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}+b_{4}^{2}\right) &=\\\left(a_{1} b_{1}-a_{2} b_{2}-a_{3} b_{3}-a_{4} b_{4}\right)^{2}+& \\\left(a_{1} b_{2}+a_{2} b_{1}+a_{3} b_{4}-a_{4} b_{3}\right)^{2}+& \\\left(a_{1} b_{3}-a_{2} b_{4}+a_{3} b_{1}+a_{4} b_{2}\right)^{2} &+\\\left(a_{1} b_{4}+a_{2} b_{3}-a_{3} b_{2}+a_{4} b_{1}\right)^{2} \end{aligned}$$