LIS问题
2024-09-17 12:16:15
LIS定义
LIS(Longest Increasing Subsequence)最长上升子序列 。
一个数的序列bi,当b1 < b2 < … < bS的时候,我们称这个序列是上升的。对于给定的一个序列(a1, a2, …, aN),我们可以得到一些上升的子序列(ai1, ai2, …, aiK),这里1 <= i1 < i2 < … < iK <= N。
比如,对于序列(1, 7, 3, 5, 9, 4, 8),有它的一些上升子序列,如(1, 7), (3, 4, 8)等等。这些子序列中最长的长度是4,比如子序列(1, 3, 5, 8).
你的任务,就是对于给定的序列,求出最长上升子序列的长度。
O(N^2)做法:dp动态规划
状态设计:dp[i]代表以a[i]结尾的LIS的长度
状态转移:dp[i]=max(dp[i], dp[j]+1) (0<=j< i, a[j]< a[i])
边界处理:dp[i]=1 (0<=j< n)
时间复杂度:O(N^2)
举例: 对于序列(1, 7, 3, 5, 9, 4, 8),dp的变化过程如下
求完dp数组后,取其中的最大值就是LIS的长度。【注意答案不是dp[n-1],这个样例只是巧合】
简单示例代码:
#include<iostream> //
#include<string.h>//
#include<algorithm>
using namespace std; int dp[],a[];//dp[i]表示以a[i]结尾升序列的长度
int main()
{
int i,j,n,ans=;
cin>>n;
for(i=;i<n;i++){
cin>>a[i];
dp[i]=;//最短是自身
} for(i=;i<n;i++){
for(j=;j<i;j++){
if(a[i]>a[j]) dp[i]=max(dp[i],dp[j]+);
}
ans=max(ans,dp[i]);
}
cout<<ans;
return ;
}
O(NlogN)做法:贪心+二分
导弹问题:https://www.cnblogs.com/cstdio1/p/11329076.html
//注意dp数组不是最长升序列,这个方法只适合求最长长度
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=;
int a[N],dp[N];
int main() {
int n,len=;
cin>>n;
for(int i=;i<n;i++){
cin>>a[i];
}
dp[]=a[];
for(int i=;i<n;i++){//LIS最长增序列
if(a[i]>=dp[len]){
len++;
dp[len]=a[i];
}
else{//因为是递增数组,左边的越小,可以插入的可能性就越大,
// 所以找到第一个大于a[i]的用a[i]以替换就ok了
int p=upper_bound(dp,dp+len,a[i])-dp;
dp[p]=a[i];
} }
cout<<len+<<endl;
return ; //结束
}
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