【学习小记】Berlekamp-Massey算法

Preface

BM算法是用来求一个数列的最短线性递推式的。

形式化的，BM算法能够对于长度为n的有穷数列或者已知其满足线性递推的无穷数列$a$，找到最短的长度为m的有穷数列$c$，满足对于所有的$i\geq n$，有$$a_i=\sum\limits_{j=1}^{m}c_ja_{i-j}$$

Text

BM算法的流程十分简洁明了——增量，构造，修正。

方便起见，我们令a的下标从0开始，c的下标从1开始

假设我们当前构造出来的递推系数C是第$cnt$版（经过cnt次修正）长度为$m$，能够满足前$a_0...a_{i-1}$项，记做$_{cnt}C$，初始时$_{cnt}C$为空,m=0

记$d_i=a_i-\sum\limits_{j=1}^{m}c_ja_{i-j}$

若$d_i=0$，那么C符合的很好，不用管它

否则，我们需要进行一定的修正，$_{cnt}C$需要变换到$_{cnt+1}C$。

记$fail_{cnt}$表示$_{cnt}C$在$a_i$处拟合失败。

若$cnt=0$，说明这是a的第一个非0元素，直接设$m=i+1$,在$C$中填上i+1个0。显然这满足定义式（因为前m项是可以不满足递推式的）。

否则我们考虑如何构造，如果能找到一个$C'$，满足对于$m\leq j\leq i-1$，都有$\sum\limits_{k=1}^{m}c'_ka_{j-k}=0$，且$\sum\limits_{k=1}^{m}c'_ka_{i-k}=1$

那么可以构造$_{cnt+1}C=_{cnt}C+d_iC'$，显然这一定满足性质。其中加法为按项数对应加。

如何构造呢？我们可以利用之前的C！

找到某一个$k\in[0..cnt-1]$

我们构造设$w={d_i\over d_{fail_k}}$，构造$wC'=\{0,0,0,0,...,0,w,-w*{_{k}C}\}$

其中前面填上了$i-fail_k-1$个0，后面相当于是$_kC$乘上$-w$接在了后面。

为什么这是对的？其实很简单，对于$a_i$，带进去的算出来的东西相当于是$$wa_{fail_k}-w(a_{fail_k}-d_{fail_k})=wd_{fail_k}=d_i$$

而对于$m\leq j\leq i-1$，算出来的是正好是$w*a_{j-(i-fail_k)}-w*a_{j-(i-fail_k)}=0$，利用了$_kC$在1到$fail_k-1$都满足关系式，而在$fail_k$相差$d$的性质。

此时我们还希望总的长度最短，也就是说$max(m_{cnt},i-fail_k+m_{k})$最短。

我们只需要动态维护最短的$i-fail_k+m_{k}$即可，每次算出$_{cnt+1}$时都与之前的k比较一下谁更短即可，这样贪心可以感受出来是正确的。

最坏时间复杂度显然是$O(nm)$的

Code

LL rc[4*N],rp[4*N],le,le1,rw[4*N];

void BM()

{

	le=le1=0;

	memset(rc,0,sizeof(rc));

	memset(rp,0,sizeof(rp));

	int lf=0;LL lv=0;

	fo(i,0,n1)

	{

		LL v=0;

		fo(j,1,le) inc(v,rc[j]*ap[i-j]%mo);

		if(v==ap[i]) continue;

		if(le==0)

		{

			le=i+1;

			fo(j,1,le) rc[j]=rp[j]=0;

			le1=0,lf=i,lv=(ap[i]-v)%mo;

			continue;

		}

		v=(ap[i]-v+mo)%mo;

		LL mul=v*ksm(lv,mo-2)%mo;

		fo(j,1,le) rw[j]=rc[j];

		inc(rc[i-lf],mul);

		fo(j,i-lf+1,i-lf+le1) inc(rc[j],(mo-mul*rp[j-(i-lf)]%mo)%mo);

		if(le<i-lf+le1)

		{

			swap(le1,le);

			le=i-lf+le,lf=i,lv=v;

			fo(j,1,le1) rp[j]=rw[j];

		}

		v=0;

		fo(j,1,le) inc(v,rc[j]*ap[i-j]%mo);

	}

}

巴特西

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