ICG游戏：证明，先手不是必胜就是必败。

简介：

ICG游戏：Impartial Combinatorial Games，公平的组合游戏。

以下是定义，来自网络，可能不够严谨：

1、两名选手；
2、两名选手轮流行动，每一次行动可以在有限合法操作集合中选择一个；
3、游戏的任何一种可能的局面(position)，合法操作集合只取决于这个局面本身；局面的改变称为“移动”(move)。
4、若轮到某位选手时，该选手的合法操作集合为空，则这名选手判负。

必胜和必败，指如果若按规定且可行的方法走，则必定胜利；必败，指无论怎么走必定失败。某些资料称为奇异非奇异态，PN态，等差不多。

写这篇文章，主要是源于巧克力游戏的证明（Strategy-stealing）：

有个n*m的矩阵（巧克力块），两人轮流取一个点；每次取完后，需要把其右上方所有巧克力都吃了；吃到最左下方的输。先手是否必胜？

有证明如下：

如果后手存在必胜，则只要先手第一次取最右上方的，后手取的必包含最右上方的，那先手其实第一次就可以取后手取的那个。

即后手第二步走的，先手都可以在第一步就走。由此证明后手不存在必胜，先手必胜。

刚看到证明，觉得只是证明了后手不存在必胜，并不能说明先手必胜。

如果加上一个条件即可：在ICG游戏中，先手不是必胜就是必败，后手同理。

双方互相决策，有限步骤，可以用树来描述，树的叶子节点是胜或者败；

由于双方都是足够聪明，所以，如果某个叶子是胜，则其父节点也是胜，因为父节点必定会选择胜利的途径；如果某子树叶子全是败，则其父节点也是败；

一直往上递推，则最后，推到根节点有若干个叶子，如果有胜节点则根节点胜；如果全是败则根节点败；

则证明，先手不是必胜就是必败。

回到刚才的反证法，梳理下：

后手有必胜=>先手必败=>推出矛盾。则先手不是必败，又由上面证明得知先手不是必胜就是必败，所以先手必胜。

对于这种多走一步一定不是坏事，且决策对策的游戏（可能是非ICG），都可以用类似的方法证明后手没有必胜策略。但这不代表先手有。