【bzoj2115】[Wc2011] Xor
2115: [Wc2011] Xor
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Description
Input
第一行包含两个整数N和 M, 表示该无向图中点的数目与边的数目。 接下来M 行描述 M 条边,每行三个整数Si,Ti ,Di,表示 Si 与Ti之间存在 一条权值为 Di的无向边。 图中可能有重边或自环。
Output
仅包含一个整数,表示最大的XOR和(十进制结果),注意输出后加换行回车。
Sample Input
1 2 2
1 3 2
2 4 1
2 5 1
4 5 3
5 3 4
4 3 2
Sample Output
dfs+线性基
解题报告:
继续刷线性基...
这道题要求从1到n的最大xor和路径,存在重边,允许经过重复点、重复边。那么在图上作图尝试之后就会发现,路径一定是由许多的环和一条从1到n的路径组成。容易发现,来回走是没有任何意义的,因为来回走意味着抵消。考虑这道题求得是路径xor和最大,所以必然我们要想办法处理环的情况。我的做法是任意地先找出一条从1到n的路径,把这条路径上的xor和作为ans初值(先不管为什么可行),然后我们的任务就变成了求若干个环与这个ans初值所能组合成的xor最大值。显然,我们需要预处理出图上所有的环,并处理出所有环的环上xor值,这当然是dfs寻找,到n的路径的时候顺便求一下就可以了。
当我们得到了若干个环的xor值之后,因为是要求xor最大值,我们就可以构出这所有xor值的线性基。构出之后,再用ans在线性基上取max就可以了。
现在我们来讨论上述做法的可行性。
第一种情况:我们对最终答案产生贡献的某个环离1到n的主路径很远,这样的话,因为至少可以保证1可以到达这个环,那么我们可以走到这个环之后绕环一周之后原路返回,这样从1走到环的路上这一段被重复经过所以无效,但是环上的xor值被我们得到了,所以我们并不关心这个环和主路径的关系,我们只关心环的权值。
第二种情况:我们任意选取的到n的路径是否能保证最优性。假设存在一条更优的路径从1到n,那么这条路径与我们原来的路径构成了一个环,也就会被纳入线性基中,也会被计算贡献,假如这个环会被经过,那么最后的情况相当于是走了两遍原来选取的路径,抵消之后走了一次这个最优路径,所以我们无论选取的是哪条路径作为ans初值,都可以通过与更优情况构成环,然后得到一样的结果。这一证明可以拓展到路径上的任意点的路径选取。
这样我们就可以完美解决了。我第一次WA了一发,因为我没有考虑到ans初值不为0,在线性基上取到xor的max的时候,不能单纯以ans这一位是否为0来决定是否异或上基的这一位,必须要看异或之后取一个max做一个判断才行。
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define MAXM 200010
#define MAXN 50010
typedef long long ll;
struct node{ll y,next,v;}e[MAXM];
ll n,m,len,cnt,ans,Link[MAXN],vis[MAXN],cir[MAXM],p[MAXN],dx[MAXN];
inline ll read()
{
ll x=,f=; char ch=getchar();
while(!isdigit(ch)) {if(ch=='-') f=-; ch=getchar();}
while(isdigit(ch)) {x=x*+ch-''; ch=getchar();}
return x*f;
}
void insert(ll x,ll y,ll v) {e[++len].next=Link[x];Link[x]=len;e[len].y=y;e[len].v=v;}
void dfs(ll x)
{
vis[x]=;
for(int i=Link[x];i;i=e[i].next)
{
if(!vis[e[i].y]) {dx[e[i].y]=dx[x]^e[i].v; dfs(e[i].y);}
else cir[++cnt]=dx[x]^dx[e[i].y]^e[i].v;
}
}
int main()
{
//freopen("cin.in","r",stdin);
//freopen("cout.out","w",stdout);
n=read(); m=read();
for(int i=;i<=m;i++)
{
ll x=read(),y=read(),v=read();
insert(x,y,v); insert(y,x,v);
}
dfs(); ans=dx[n];
for(int i=;i<=cnt;i++)
for(int j=;j>=;j--)
{
if(!(cir[i]>>j)) continue;
if(!p[j]) {p[j]=cir[i]; break;}
cir[i]^=p[j];
}
for(int i=;i>=;i--) if((ans^p[i])>ans) ans=ans^p[i];
printf("%lld\n",ans);
return ;
}
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