洛谷P2522 [HAOI2011]Problem b(莫比乌斯反演)

题目描述

对于给出的n个询问，每次求有多少个数对(x,y)，满足a≤x≤b，c≤y≤d，且gcd(x,y) = k，gcd(x,y)函数为x和y的最大公约数。

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输入格式：

第一行一个整数n，接下来n行每行五个整数，分别表示a、b、c、d、k

输出格式：

共n行，每行一个整数表示满足要求的数对(x,y)的个数

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14

3

说明

100%的数据满足：1≤n≤50000，1≤a≤b≤50000，1≤c≤d≤50000，1≤k≤50000

莫比乌斯反演

首先你要会求$\sum ^{n}_{i=1}\sum ^{m}_{i=1}\left[ \gcd \left( i,j\right) = 1\right]$

然后不难发现这题可以容斥处理

假设$work(i,j)=\sum ^{n}_{i=1}\sum ^{m}_{i=1}\left[ \gcd \left( i,j\right) = 1\right]$

那么$ans=work(b,d)-work(a-1,d)-work(c-1,b)+work(a-1,c-1)$

// luogu-judger-enable-o2

#include<cstdio>

#include<cstring>

#include<cmath>

#include<algorithm>

using namespace std;

const int MAXN=1e6+;

inline int read()

{

    char c=getchar();int x=,f=;

    while(c<''||c>''){if(c=='-')f=-;c=getchar();}

    while(c>=''&&c<=''){x=x*+c-'';c=getchar();}

    return x*f;

}

int N,a,b,c,d,k,ans;

int vis[MAXN],prime[MAXN],mu[MAXN],tot=;

void GetMu()

{

    vis[]=;mu[]=;

    for(int i=;i<=N;i++)

    {

        if(!vis[i]) prime[++tot]=i,mu[i]=-;

        for(int j=;j<=tot&&i*prime[j]<=N;j++)

        {

            vis[i*prime[j]]=;

            if(i%prime[j]==) {mu[i*prime[j]]=;break;}

            else mu[i*prime[j]]=-mu[i];

        }

    }

    for(int i=;i<=N;i++)

        mu[i]+=mu[i-];

}

int work(int n,int m)

{

    int limit=min(n/k,m/k),ans=;

    for(int i=,nxt;i<=limit;i=nxt+)

    {

        nxt=min(n/(n/i),m/(m/i));

        ans+=(mu[nxt]-mu[i-])*(n/(k*i))*(m/(k*i));

    }

    return ans;

}

main()

{

    N=1e5;

    GetMu();

    int QWQ=read();

    while(QWQ--)

    {

        a=read(),b=read(),c=read(),d=read(),k=read();

        ans=work(b,d)-work(a-,d)-work(c-,b)+work(a-,c-);

        printf("%d\n",ans);

    }

    return ;

}

巴特西

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