[LGP2791] 幼儿园篮球题

你猜猜题怎么出出来的？

显然第\(i\)场的答案为

\[\frac{1}{\binom{n_i}{m_i}\binom{n_i}{k_i}}\sum_{x=0}^{k_i}\binom{n_i}{m_i}\binom{m_i}{x}\binom{n_i-m_i}{k_i-x}x^L
=\frac{1}{\binom{n_i}{k_i}}\sum_{x=0}^{k_i}\binom{m_i}{x}\binom{n_i-m_i}{k_i-x}x^L\\
\]

利用斯特林数进行变换

\[\sum_{x=0}^{k_i}\binom{m_i}{x}\binom{n_i-m_i}{k_i-x}x^L
=\sum_{x=0}^{k_i}\binom{m_i}{x}\binom{n_i-m_i}{k_i-x}\sum_{y=0}^{x}y!\binom{x}{y}\left\{\begin{matrix}L\\y\end{matrix}\right\}\\
=\sum_{y=0}^{k_i}y!\left\{\begin{matrix}L\\y\end{matrix}\right\}
\sum_{x=y}^{k_i}\binom{x}{y}\binom{m_i}{x}\binom{n_i-m_i}{k_i-x}\\
=\sum_{y=0}^{k_i}y!\left\{\begin{matrix}L\\y\end{matrix}\right\}
\sum_{x=y}^{k_i}\binom{m_i}{y}\binom{m_i-y}{x-y}\binom{n_i-m_i}{k_i-x}\\
=\sum_{y=0}^{k_i}y!\binom{m_i}{y}\left\{\begin{matrix}L\\y\end{matrix}\right\}
\sum_{x=0}^{k_i-y}\binom{m_i-y}{x}\binom{n_i-m_i}{k_i-y-x}\\
=\sum_{y=0}^{k_i}y!\binom{m_i}{y}\left\{\begin{matrix}L\\y\end{matrix}\right\}
\binom{n_i-y}{k_i-y}
\]

发现\(y\)的实际上界为\(\min(k_i,m_i,L)\)不过\(1e5\)，而询问仅\(2e2\)，预处理第\(L\)行斯特林数，询问复杂度\(O(L)\)可以接受。

斯特林数的预处理参见。

最终答案为

\[\sum_{i=1}^S\frac{k_i!(n_i-k_i)!}{n_i!}\sum_{y=0}^{k_i}y!\frac{m_i!(n_i-y)!}{y!(m_i-y)!(k_i-y)!(n_i-k_i)!}S(L,y)\\
=\sum_{i=1}^S\frac{k_i!m_i!}{n_i!}\sum_{y=0}^{k_i}\frac{(n_i-y)!}{(m_i-y)!(k_i-y)!}S(L,y)
\]

显得十分的和谐。

此题卡常

#include <bits/stdc++.h>

#define IL inline

#define ll long long

using namespace std;

const int N=8e5+10;

const int M=2e7+10;

const int mod=998244353;

IL ll gi(){

    ll x=0,f=1;

    char ch=getchar();

    while(!isdigit(ch))f^=ch=='-',ch=getchar();

    while(isdigit(ch))x=x*10+ch-'0',ch=getchar();

    return f?x:-x;

}

int lmt,w[N],rev[N];

IL int fpw(int x,int y) {

	int c=1;

	for(; y; y>>=1,x=(ll)x*x%mod) if(y&1) c=(ll)c*x%mod;

	return c;

}

IL void init(int n) {

	int l=0; lmt=1;

	while(lmt<=n) lmt<<=1, l++;

	for(int i=0; i<lmt; ++i) rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1));

	int tmp=lmt>>1, wlmt=fpw(3,(mod-1)>>l); w[tmp]=1;

	for(int i=tmp+1; i<lmt; ++i) w[i]=(ll)w[i-1]*wlmt%mod;

	for(int i=tmp-1; i; --i) w[i]=w[i<<1];

	lmt=l;

}

IL void DFT(int*a,int len) {

	static unsigned ll tmp[N];

	int u=lmt-__builtin_ctz(len),T;

	for(int i=0; i<len; ++i) tmp[rev[i]>>u]=a[i];

	for(int m=1; m<len; m<<=1)

		for(int i=0,s=m<<1; i<len; i+=s)

			for(int j=0; j<m; ++j)

				T=tmp[i+j+m]*w[j+m]%mod,tmp[i+j+m]=tmp[i+j]+mod-T,tmp[i+j]+=T;

	for(int i=0; i<len; ++i) a[i]=tmp[i]%mod;

}

IL void IDFT(int*a,int len) {

	reverse(a+1,a+len); DFT(a,len);

	ll T=mod-(mod-1)/len;

	for(int i=0; i<len; ++i) a[i]=T*a[i]%mod;

}

IL int getLen(int n) {return 1<<(32-__builtin_clz(n));}

int n,m,s,l,k,fiv[M],fac[M],f[N],g[N];

IL void getFac(int n) {

	fac[0]=1;

	for(int i=1; i<=n; ++i) fac[i]=(ll)fac[i-1]*i%mod;

	fiv[n]=fpw(fac[n],mod-2);

	for(int i=n-1; ~i; --i) fiv[i]=(ll)fiv[i+1]*(i+1)%mod;

}

int cnt,pri[N];

bool vis[N];

IL void getSti(int n) {

	ll fup=mod-1;

	for(int i=0; i<=n; ++i) {

		fup=mod-fup;

		f[i]=fup*fiv[i]%mod;

	}

	g[1]=1;

	for(int i=2; i<=n; ++i) {

		if(!vis[i]) pri[++cnt]=i,g[i]=fpw(i,n);

		for(int j=1; j<=cnt&&pri[j]*i<=n; ++j) {

			vis[pri[j]*i]=1;

			g[pri[j]*i]=(ll)g[pri[j]]*g[i]%mod;

			if(i%pri[j]==0) break;

		}

	}

	for(int i=1; i<=n; ++i) g[i]=(ll)g[i]*fiv[i]%mod;

	int len=getLen(n<<1);

	DFT(f,len); DFT(g,len);

	for(int i=0; i<len; ++i) f[i]=(ll)f[i]*g[i]%mod;

	IDFT(f,len);

	for(int i=n+1; i<len; ++i) f[i]=0;

}

int main() {

	scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&s,&l);

	init(l<<1);

	getFac(max(n,l));

	getSti(l);

	while(s--) {

		scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);

		int T=min(min(m,k),l),sum=0;

		for(int i=0; i<=T; ++i) sum=(sum+(ll)fac[n-i]*fiv[m-i]%mod*fiv[k-i]%mod*f[i]%mod)%mod;

		sum=(ll)sum*fac[k]%mod*fac[m]%mod*fiv[n]%mod;

		printf("%d\n",sum);

	}

	return 0;

}

巴特西

[LGP2791] 幼儿园篮球题

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