Bzoj 1010: [HNOI2008]玩具装箱toy(斜率优化)

1010: [HNOI2008]玩具装箱toy

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Description

　　P教授要去看奥运，但是他舍不下他的玩具，于是他决定把所有的玩具运到北京。他使用自己的压缩器进行压

缩，其可以将任意物品变成一堆，再放到一种特殊的一维容器中。P教授有编号为1…N的N件玩具，第i件玩具经过

压缩后变成一维长度为Ci.为了方便整理，P教授要求在一个一维容器中的玩具编号是连续的。同时如果一个一维容

器中有多个玩具，那么两件玩具之间要加入一个单位长度的填充物，形式地说如果将第i件玩具到第j个玩具放到一

个容器中，那么容器的长度将为 x=j-i+Sigma(Ck) i<=K<=j 制作容器的费用与容器的长度有关，根据教授研究，

如果容器长度为x,其制作费用为(X-L)^2.其中L是一个常量。P教授不关心容器的数目，他可以制作出任意长度的容

器，甚至超过L。但他希望费用最小.

Input

　　第一行输入两个整数N，L.接下来N行输入Ci.1<=N<=50000,1<=L,Ci<=10^7

Output

　　输出最小费用

Sample Input

5 4

3

4

2

1

4

Sample Output

1

/*

DP.

n^2暴力20分。。。

方程显然...

f[i]=min(f[i],f[j-1]+(i-j+sum[i]-sum[j-1]-L)*(i-j+sum[i]-sum[j-1]-L)).

然后开始推斜率的式子...

*/

#include<iostream>

#include<cstdio>

#define MAXN 50001

#define LL long long

using namespace std;

LL f[MAXN],n,L,sum[MAXN];

LL read()

{

    LL x=0,f=1;char ch=getchar();

    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}

    while(ch>='0'&&ch<='9') x=x*10+ch-48,ch=getchar();

    return x*f;

}

void slove()

{

    for(int i=1;i<=n;i++) f[i]=1e18;f[0]=0;

    for(int i=1;i<=n;i++)

    {

        for(int j=1;j<=i;j++)

          f[i]=min(f[i],f[j-1]+

          (i-j+sum[i]-sum[j-1]-L)*(i-j+sum[i]-sum[j-1]-L));

    }

    cout<<f[n];

}

int main()

{

    freopen("bzoj_1010.in","r",stdin);

    freopen("bzoj_1010.out","w",stdout);

    LL x;

    n=read(),L=read();

    for(int i=1;i<=n;i++)

    {

        x=read();

        sum[i]=sum[i-1]+x;

    }

    slove();

    return 0;

}

/*

斜率优化.

乱推一波式子.

就不写了 比较恶心.

为了方便,令sum[i]=(∑a[i])+i.

所以sum是单调的

上凸点是没有用的.

维护一个下凸性.

第一,二次都没推对,还是弱啊.

*/

#include<iostream>

#include<cstdio>

#define MAXN 50001

#define LL long long

using namespace std;

LL f[MAXN],n,L,sum[MAXN],q[MAXN],c[MAXN];

LL read()

{

    LL x=0,f=1;char ch=getchar();

    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}

    while(ch>='0'&&ch<='9') x=x*10+ch-48,ch=getchar();

    return x*f;

}

double F(int x)

{

    return double(f[x]+sum[x]*sum[x]);

}

double check(int x,int y)

{

    return double(F(y)-F(x))/double(sum[y]-sum[x]);

}

void slove()

{

    int head=0,tail=0;

    for(int i=1;i<=n;i++)

    {

        while(head<tail&&check(q[head],q[head+1])<2*(sum[i]-L-1)) head++;

        f[i]=f[q[head]]+(sum[i]-sum[q[head]]-L-1)*(sum[i]-sum[q[head]]-L-1);

        while(head<tail&&check(q[tail-1],q[tail])>check(q[tail],i)) tail--;

        q[++tail]=i;

    }

    cout<<f[n];

}

int main()

{

    freopen("bzoj_1010.in","r",stdin);

    freopen("bzoj_1010.out","w",stdout);

    LL x;

    n=read(),L=read();

    for(int i=1;i<=n;i++)

    {

        x=read();

        c[i]=c[i-1]+x;

        sum[i]=c[i]+i;

    }

    slove();

    return 0;

}

巴特西

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