题解 nflsoj553 【六校联合训练省选 #10】飞

我们称“简要题意”给出的三个要求分别为“条件1”，“条件2”，“条件3”。

条件3长得比较丑，考虑转化一下。把不等式两边同时开\(ij\)次根，得到：\(\sqrt[i]{x_i}<\sqrt[j]{x_j+1}\)。这样左边只和\(i\)有关，右边只和\(j\)有关。于是条件3就转化为了\((\max_{i=1}^{n}\sqrt[i]{x_i})<(\min_{i=1}^{n}\sqrt[i]{x_i+1})\)。

根据转化后的条件3，加上条件1（\(x_1=2\)），我们可以推出：\(2^i\leq x_i<3^i\)。

再考虑条件2。我们发现：如果条件2不成立，则条件3和条件1不可能同时成立。证明：

首先，如果存在一对\(i<j\)，且\(x_i>x_j\)。则\(x_j+1\leq x_i\)，即\(\sqrt[j]{x_j+1}<\sqrt[i]{x_i}\)，不满足我们转化后的条件3。

再考虑如果序列非严格递增，即存在\(x_i=x_{i+1}\)。设\(x_i=a\)，若条件3成立，则\(a^{i+1}<(a+1)^i\)。两边同时除以\(a^i\)得\(a<\left(\frac{a+1}{a}\right)^i\)。若条件1成立，则\(a\geq 2^i\)。即\(\left(\frac{a+1}{a}\right)^i>2^i\)，\(\frac{a+1}{a}>2\)，\(a<1\)。与\(2^i\leq a<3^i\)矛盾。故不可能在条件2不成立时，让条件1和条件3同时成立。

所以，当条件1和条件3同时成立时，条件2也一定成立。于是我们接下来可以不考虑条件2。

因为对每个\(x_i\)，\(2^i\leq x_i<3^i\)，我们考虑每个\(x_i\)的所有可能的取值，把所有取值对应的\(\sqrt[i]{x_i}\)和\(\sqrt[i]{x_i+1}\)都求出来。将所有可能的\(\sqrt[i]{x_i}\)和\(\sqrt[i]{x_i+1}\)的值放在一起，排序并去重。

我们称排序去重后，相邻的两个值之间的区间为一段小区间。可以发现：所有小区间和所有合法序列一一对应。即：小区间的数量就是本题的答案！证明：

考虑一个合法的序列的\([(\max_{i=1}^{n}\sqrt[i]{x_i}),(\min_{i=1}^{n}\sqrt[i]{x_i+1})]\)这个区间。

如果我们选择一段小区间\([l,r]\)作为这个\([\max,\min]\)的区间。对每个位置\(i\)，考虑它的所有可能的\(x_i\)的值，一定存在唯一的一个值\(a(2^i\leq a<3^i)\)，使得\(\sqrt[i]{a}\leq l\)且\(\sqrt[i]{a+1}\geq r\)。我们令\(x_i=a\)。这样，我们就构造出了一个合法的序列。即对于每段小区间，我们都能构造出一个合法的序列。

考虑如果\(x_i<a\)，则会使得\(\sqrt[i]{x_i+1}<r\)；如果\(x_i>a\)，则会使得\(\sqrt[i]{x_i}>l\)，这都不符合要求。因此，每段小区间\([l,r]\)只会唯一对应一个合法的序列（就是我们构造出的那个）。

考虑如果某个序列的\([\max,\min]\)这个区间不是一段小区间，即它中间跨过了至少一个点。假设这个点属于\(x_j\)。则\(x_j\)就无法找到一个取值，使得\(\sqrt[j]{x_j}\leq l\)且\(\sqrt[j]{x_j+1}\geq r\)。因此，不存在某个合法序列的\([\max,\min]\)不是一段小区间。所以：每个合法序列，都唯一对应一段小区间。

问题转化为如何求出小区间的数量。

依次考虑所有\(i\in[2,n]\)。设\(f(i)\)表示\(i\)这个位置会新增多少点。则
\[
f(i)=3^i-2^i-\sum_{d|i,d<i}f(d)
\]
移项得：
\[
\sum_{d|i}f(d)=3^i-2^i
\]
设\(g(i)=3^i-2^i\)，则\(g(i)=\sum_{d|i}f(d)\)。根据莫比乌斯反演，有：
\[
f(i)=\sum_{d|i}\mu(\frac{i}{d})g(d)
\]
我们要求的是：
\[
\begin{align}
ans=&\sum_{i=1}^{n}f(i)\\
=&\sum_{i=1}^{n}\sum_{d|i}\mu(\frac{i}{d})g(d)\\
=&\sum_{d=1}^{n}g(d)\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}\mu(i)
\end{align}
\]
用数论分块+杜教筛（记忆化），可以在\(O(n^\frac{2}{3})\)时间内求出\(ans\)。

参考代码：

//problem:nflsoj553
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define pb push_back
#define mk make_pair
#define lob lower_bound
#define upb upper_bound
#define fst first
#define scd second

typedef unsigned int uint;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int,int> pii;

/*  ------  by:duyi  ------  */ // dysyn1314
const int MAXN=1e7;
ll n;int MOD,PHIMOD,INV2;
inline int mod1(int x){return x<MOD?x:x-MOD;}
inline int mod2(int x){return x<0?x+MOD:x;}
inline void add(int &x,int y){x=mod1(x+y);}
inline void sub(int &x,int y){x=mod2(x-y);}
inline int pow_mod(int x,int i){int y=1;while(i){if(i&1)y=(ll)y*x%MOD;x=(ll)x*x%MOD;i>>=1;}return y;}
int p[MAXN/10],cnt,mu[MAXN+5];
bool v[MAXN+5];
void sieve(){
    mu[1]=1;
    for(int i=2;i<=MAXN;++i){
        if(!v[i])p[++cnt]=i,mu[i]=-1;
        for(int j=1;j<=cnt&&(ll)i*p[j]<=MAXN;++j){
            v[i*p[j]]=1;
            if(i%p[j]==0)break;
            mu[i*p[j]]=-mu[i];
        }
    }
    //cerr<<cnt<<endl;
    for(int i=1;i<=MAXN;++i)mu[i]+=mu[i-1],mu[i]=mod2(mu[i]);
}
map<ll,int>mp;
int summu(ll n){
    if(n<=MAXN)return mu[n];
    if(mp.count(n))return mp[n];
    int res=1;
    for(ll i=2,j;i<=n;i=j+1){
        j=n/(n/i);
        sub(res,(ll)(j-i+1)*summu(n/i)%MOD);
    }
    return mp[n]=res;
}
int sumg(ll n){
    if(!n)return 0;
    return mod2((ll)mod2(pow_mod(3,(n+1)%PHIMOD)-3)*INV2%MOD-mod2(pow_mod(2,(n+1)%PHIMOD)-2));
}
int main() {
    cin>>n>>MOD;PHIMOD=MOD-1;INV2=pow_mod(2,MOD-2);
    sieve();
    int ans=0;
    for(ll i=1,j;i<=n;i=j+1){
        j=n/(n/i);
        add(ans,(ll)mod2(sumg(j)-sumg(i-1))*summu(n/i)%MOD);
    }
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}

巴特西

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