splay tree 学习笔记
2024-08-22 22:44:24
首先感谢litble的精彩讲解，原文博客：
在学完二叉平衡树后，发现这是只是一个不稳定的垃圾玩意，真正实用的应有Treap、AVL、Splay这样的查找树。于是最近刚学了学了点Splay。
一般地【一般地】，Splay有一下操作：
- insert 插入
- find 查找
- del 删除
- pre 查找前驱
- post 查找后缀
- Splay *伸展
其中前几个都是普通二叉查找树就有的操作，Splay操作则是Splay tree的特有的。
我们先建一个结构体：
class node
{
public:
int v,ch[2],f;
}e[maxn];
储存每个节点的信息：权值，左右儿子，父亲，【还可以有树的大小等，因需而异】
splay
为了方便，我们先讲splay操作
splay ，顾名思义，就是伸展，将某个节点在保持树的性质的前提下伸展到根节点
有什么用呢？
想象世界上有那么多博客，大神们的博客每天都有成千上万人访问，而我这种蒟蒻一般就没什么人看，所以每次将访问的节点伸展到根，访问少的自然就在下面，访问多的就在上边，大大减少的查询时间。
虽说某一次的查询复杂度可能达到O（n），但平摊下平均是logn的，具体我不会证= =
所以splay分3种情况伸展【其实有6种】：
1、当前节点u的父亲为根节点，这个时候我们只需一次翻转就可以到达根结点了
2、当前节点u与其父节点都为同一侧的儿子，即zig-zig型或zag-zag型，这个时候我们需要将父节点翻转一次，再将u翻转一次
3、当前节点u与其父节点为异侧节点，即zig-zag或zag-zig型，这个时候我们需将u翻转两次
代码如下【借鉴litble的，写的确实很巧妙，合并了zig-zag操作，巧妙利用C++真为1假为0与数组的0和1下标结合】
#define isr(u) (e[e[u].f].ch[1]==u) ......... inline void spin(int u)
{
int s=isr(u),fa=e[u].f;
e[u].f=e[fa].f;
e[e[fa].f].ch[isr(fa)]=u;
e[fa].f=u;
e[fa].ch[s]=e[u].ch[s^1];
if(e[u].ch[s^1]) e[e[u].ch[s^1]].f=fa;
e[u].ch[s^1]=fa;
} inline void splay(int u)
{
while(e[u].f)
{
if(!e[e[u].f].f) spin(u);
else if(isr(u)^isr(e[u].f)) spin(u),spin(u);
else spin(e[u].f),spin(u);
}
root=u;
}
insert
inline void insert(int& u,int v,int fa)
{
if(!u) e[u=++siz].v=v,e[u].f=fa,e[u].ch[0]=e[u].ch[1]=0,splay(u),cnt++;
else if(v<e[u].v) insert(e[u].ch[0],v,u);
else insert(e[u].ch[1],v,u);
}
插入操作与二叉查找树相同，不过多了一个splay操作
find
int find(int v,int u=root)
{
if(!u) return 0;
if(e[u].v==v) {splay(u);return u;}
if(e[u].v>v) return find(v,e[u].ch[0]);
else return find(v,e[u].ch[1]);
}
按照查找树左小右大的性质查找，记得每次访问时先splay一下
del
void del(int u)
{
if(!u) return;
splay(u);
if(e[u].ch[0]*e[u].ch[1]==0) root=e[u].ch[0]+e[u].ch[1];
else
{
int t=e[u].ch[1];
while(e[t].ch[0]) t=e[t].ch[0];
e[t].ch[0]=e[u].ch[0];e[e[u].ch[0]].f=t;
root=e[u].ch[1];
}
e[root].f=0;
cnt--;
}
先splay到根，这下就很好讨论了，不像二叉查找树那么麻烦，就分两种情况：
1、u有一次儿子为空，那么直接删去就好了，将另一侧节点设为根节点
2、u两子健全，先找到u的后继t【前驱类似】，将根节点的左儿子拔下来，插到后继t的左儿子上，这时候u只剩右儿子无牵无挂，直接将root交给右儿子随风而去~~
pre和post
int pre(int v,int u=root)
{
if(!u) return 0;
if(e[u].v==v) {splay(u);return u;}
if(e[u].v>v) return pre(v,e[u].ch[0]);
else
{
int x=pre(v,e[u].ch[1]);
if(!x) return u;
return e[u].v>e[x].v ? u:x;
}
}
int post(int v,int u=root)
{
if(!u) return 0;
if(e[u].v==v) {splay(u);return e[u].v;}
if(e[u].v<v) return post(v,e[u].ch[1]);
else
{
int x=post(v,e[u].ch[0]);
if(!x) return u;
return e[u].v<e[x].v ? u:x;
}
}
和插入类似，利用查找树的性质查找，注意当找到一个符合条件的节点时不一定是最优的，以后继为例，还要向左儿子找有没有更小但不比v小的节点
【我这里返回的是节点编号，直接返回值也可以而且更加方便】
大概基本的操作就这些啦，我们可以做做题练习一下：
洛谷P2286 宠物收养所
比较裸的一道练习，带前驱与后继操作
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define isr(u) (e[e[u].f].ch[1]==u)
using namespace std;
const int maxn=80005,INF=2000000000,P=1000000; inline int read()
{
int out=0,flag=1;char c=getchar();
while(c<48||c>57) {if(c=='-') flag=-1;c=getchar();}
while(c>=48&&c<=57) {out=out*10+c-48;c=getchar();}
return out*flag;
} class node
{
public:
int v,ch[2],f;
}e[maxn];
int siz=0,root=0,cnt=0,flag=-1; inline void spin(int u)
{
int s=isr(u),fa=e[u].f;
e[u].f=e[fa].f;
e[e[fa].f].ch[isr(fa)]=u;
e[fa].f=u;
e[fa].ch[s]=e[u].ch[s^1];
if(e[u].ch[s^1]) e[e[u].ch[s^1]].f=fa;
e[u].ch[s^1]=fa;
} inline void splay(int u)
{
while(e[u].f)
{
if(!e[e[u].f].f) spin(u);
else if(isr(u)^isr(e[u].f)) spin(u),spin(u);
else spin(e[u].f),spin(u);
}
root=u;
} inline void insert(int& u,int v,int fa)
{
if(!u) e[u=++siz].v=v,e[u].f=fa,e[u].ch[0]=e[u].ch[1]=0,splay(u),cnt++;
else if(v<e[u].v) insert(e[u].ch[0],v,u);
else insert(e[u].ch[1],v,u);
} int find(int v,int u=root)
{
if(!u) return 0;
if(e[u].v==v) {splay(u);return u;}
if(e[u].v>v) return find(v,e[u].ch[0]);
else return find(v,e[u].ch[1]);
} int pre(int v,int u=root)
{
if(!u) return 0;
if(e[u].v==v) {splay(u);return u;}
if(e[u].v>v) return pre(v,e[u].ch[0]);
else
{
int x=pre(v,e[u].ch[1]);
if(!x) return u;
return e[u].v>e[x].v ? u:x;
}
} int post(int v,int u=root)
{
if(!u) return 0;
if(e[u].v==v) {splay(u);return e[u].v;}
if(e[u].v<v) return post(v,e[u].ch[1]);
else
{
int x=post(v,e[u].ch[0]);
if(!x) return u;
return e[u].v<e[x].v ? u:x;
}
} void del(int u)
{
if(!u) return;
splay(u);
if(e[u].ch[0]*e[u].ch[1]==0) root=e[u].ch[0]+e[u].ch[1];
else
{
int t=e[u].ch[1];
while(e[t].ch[0]) t=e[t].ch[0];
e[t].ch[0]=e[u].ch[0];e[e[u].ch[0]].f=t;
root=e[u].ch[1];
}
e[root].f=0;
cnt--;
} int main()
{
int N,ans=0,cmd,x;
scanf("%d",&N);
while(N--)
{
scanf("%d%d",&cmd,&x);
if(!cnt)
{
flag=cmd;
insert(root,x,0);
}
else
{
if(cmd==flag) insert(root,x,0);
else
{
int l=pre(x),r=post(x);
if(!r) ans=(ans+x-e[l].v)%P,del(l);
else if(!l) ans=(ans+e[r].v-x)%P,del(r);
else
{
if(x-e[l].v<=e[r].v-x) ans=(ans+x-e[l].v)%P,del(l);
else ans=(ans+e[r].v-x)%P,del(r);
}
}
}
}
cout<<ans<<endl;
//system("pause >nul");
return 0;
}
洛谷P2596 书架
这道题需要查找第K大以及元素的排名，这个时候需要我们引入siz这个元素，表示以u为根的子树的大小
这个时候同样需要添加一些操作维护：
1、在插入时，对应经过的节点siz++;
2、在删除时，由于u节点splay到了根节点，对其儿子没有影响，但是u的左子树插到了t下，所以需要对t以及t的祖先们的siz都加上u的左儿子siz大小【假装splay操作已自动维护好了siz】
3、在splay操作中，由于我们翻转了节点，树的形态发生了变化，需要维护一下siz的值，只需要添加这一句函数：
inline void up(int u) {e[u].siz=e[e[u].ch[0]].siz+e[e[u].ch[1]].siz+1;}
然后在spin结束时顺序【顺序！】调用up(fa)和up(u)就好了。
如下
inline void spin(int u)
{
int fa=e[u].f,s=isr(u);
e[u].f=e[fa].f;
if(e[fa].f) e[e[fa].f].ch[isr(fa)]=u;
e[fa].f=u;
e[fa].ch[s]=e[u].ch[s^1];
if(e[u].ch[s^1]) e[e[u].ch[s^1]].f=fa;
e[u].ch[s^1]=fa;
up(fa);up(u);
}
有了siz的辅助，我们很快就可以写出插到k大值与查询排名的函数
order
int order(int v,int u=root)
{
if(!u) return INF;
if(e[u].v==v) {splay(u);return e[e[u].ch[0]].siz+1;}
if(e[u].v>v) return order(v,e[u].ch[0]);
return order(v,e[u].ch[1]);
}
kth
kth
int kth(int k,int u=root)
{
if(!u) return INF;
if(k==e[e[u].ch[0]].siz+1) {splay(u);return u;}
if(k<e[e[u].ch[0]].siz+1) return kth(k,e[u].ch[0]);
return kth(k-e[e[u].ch[0]].siz-1,e[u].ch[1]);
}
有了这两个函数的帮助，我们就可以很快写出这道题了【原谅我代码的啰嗦，但还算清晰】
我用了手动给书加上权值值的方法维护书的顺序的
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define isr(x) (e[e[x].f].ch[1]==x)
using namespace std;
const int maxn=800005,INF=2000000000;
int big=maxn,small=maxn;
int code[maxn]; inline int read()
{
int out=0,flag=1;char c=getchar();
while(c<48||c>57) {if(c=='-') flag=-1;c=getchar();}
while(c>=48&&c<=57) {out=out*10+c-48;c=getchar();}
return out*flag;
} class node
{
public:
int id,v,f,siz,ch[2];
node() {ch[0]=ch[1]=0;siz=0;}
//node(int a,int b,int c) {id=a;b=v;f=c;siz=1;ch[0]=ch[1]=0;}
}e[maxn];
int nodei=0,root=0; inline void up(int u) {e[u].siz=e[e[u].ch[0]].siz+e[e[u].ch[1]].siz+1;} inline void spin(int u)
{
int fa=e[u].f,s=isr(u);
e[u].f=e[fa].f;
if(e[fa].f) e[e[fa].f].ch[isr(fa)]=u;
e[fa].f=u;
e[fa].ch[s]=e[u].ch[s^1];
if(e[u].ch[s^1]) e[e[u].ch[s^1]].f=fa;
e[u].ch[s^1]=fa;
up(fa);up(u);
} void splay(int u)
{
while(e[u].f)
{
if(!e[e[u].f].f) spin(u);
else if(isr(u)^isr(e[u].f)) spin(u),spin(u);
else spin(e[u].f),spin(u);
}
root=u;
} void insert(int& u,int v,int id,int fa)
{
if(!u) {e[u=++nodei].id=id;e[u].v=v;e[u].f=fa;e[u].siz=1;splay(u);}
else if(v<e[u].v) e[u].siz++,insert(e[u].ch[0],v,id,u);
else e[u].siz++,insert(e[u].ch[1],v,id,u);
} int find(int v,int u=root)
{
if(!u) return 0;
if(e[u].v==v) {splay(u);return u;}
if(e[u].v>v) return find(v,e[u].ch[0]);
else return find(v,e[u].ch[1]);
} void del(int u)
{
if(!u) return;
splay(u);
if(e[u].ch[0]*e[u].ch[1]==0) root=e[u].ch[0]+e[u].ch[1];
else
{
int p=e[u].ch[1];
while(e[p].ch[0]) p=e[p].ch[0];
e[p].ch[0]=e[u].ch[0];e[e[u].ch[0]].f=p;
while(e[p].f!=u) e[p].siz+=e[e[u].ch[0]].siz,p=e[p].f;
root=e[u].ch[1];
}
e[root].f=0;
} int order(int v,int u=root)
{
if(!u) return INF;
if(e[u].v==v) {splay(u);return e[e[u].ch[0]].siz+1;}
if(e[u].v>v) return order(v,e[u].ch[0]);
return order(v,e[u].ch[1]);
} int kth(int k,int u=root)
{
if(!u) return INF;
if(k==e[e[u].ch[0]].siz+1) {splay(u);return u;}
if(k<e[e[u].ch[0]].siz+1) return kth(k,e[u].ch[0]);
return kth(k-e[e[u].ch[0]].siz-1,e[u].ch[1]);
} void printpre(int u)
{
if(u)
{
printpre(e[u].ch[0]);
printf("%d ",e[u].id);
printpre(e[u].ch[1]);
}
} char cmd[10];
int main()
{
int N=read(),M=read(),x,t,u,p;
for(int i=1;i<=N;i++)
{
x=read();
code[x]=++big;
insert(root,code[x],x,0);
}
while(M--)
{
//printpre(root);cout<<endl;
scanf("%s",cmd);x=read();
switch(cmd[0])
{
case 'T':
del(find(code[x]));
code[x]=--small;
insert(root,code[x],x,0);
break;
case 'B':
del(find(code[x]));
code[x]=++big;
insert(root,code[x],x,0);
break;
case 'I':
t=read();
if(t)
{
u=find(code[x]);
p=e[u].ch[t==1];
while(e[p].ch[t==-1]) p=e[p].ch[t==-1];
code[x]=e[p].v;
code[e[p].id]=e[u].v;
swap(e[u].id,e[p].id);
}
break;
case 'A':
printf("%d\n",order(code[x])-1);
break;
case 'Q':
printf("%d\n",e[kth(x)].id);
break;
default:
break;
}
}
//system("pause >nul");
return 0;
}
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