最短路——spfa
适用范围:给定的图存在负权边,这时类似Dijkstra等算法便没有了用武之地,而Bellman-Ford算法的复杂度又过高,SPFA算法便派上用场了。 我们约定有向加权图G不存在负权回路,即最短路径一定存在。当然,我们可以在执行该算法前做一次拓扑排序,以判断是否存在负权回路,但这不是我们讨论的重点。
算法思想:我们用数组d记录每个结点的最短路径估计值,用邻接表来存储图G。我们采取的方法是动态逼近法:设立一个先进先出的队列用来保存待优化的结点,优化时每次取出队首结点u,并且用u点当前的最短路径估计值对离开u点所指向的结点v进行松弛操作,如果v点的最短路径估计值有所调整,且v点不在当前的队列中,就将v点放入队尾。这样不断从队列中取出结点来进行松弛操作,直至队列空为止
期望的时间复杂度O(ke), 其中k为所有顶点进队的平均次数,可以证明k一般小于等于2。
实现方法:
建立一个队列,初始时队列里只有起始点,再建立一个表格记录起始点到所有点的最短路径(该表格的初始值要赋为极大值,该点到他本身的路径赋为0)。然后执行松弛操作,用队列里有的点作为起始点去刷新到所有点的最短路,如果刷新成功且被刷新点不在队列中则把该点加入到队列最后。重复执行直到队列为空。
判断有无负环:
如果某个点进入队列的次数超过N次则存在负环(SPFA无法处理带负环的图)
首先建立起始点a到其余各点的
最短路径表格
首先源点a入队,当队列非空时:
1、队首元素(a)出队,对以a为起始点的所有边的终点依次进行松弛操作(此处有b,c,d三个点),此时路径表格状态为:
在松弛时三个点的最短路径估值变小了,而这些点队列中都没有出现,这些点
需要入队,此时,队列中新入队了三个结点b,c,d
队首元素b点出队,对以b为起始点的所有边的终点依次进行松弛操作(此处只有e点),此时路径表格状态为:
在最短路径表中,e的最短路径估值也变小了,e在队列中不存在,因此e也要
入队,此时队列中的元素为c,d,e
队首元素c点出队,对以c为起始点的所有边的终点依次进行松弛操作(此处有e,f两个点),此时路径表格状态为:
在最短路径表中,e,f的最短路径估值变小了,e在队列中存在,f不存在。因此
e不用入队了,f要入队,此时队列中的元素为d,e,f
队首元素d点出队,对以d为起始点的所有边的终点依次进行松弛操作(此处只有g这个点),此时路径表格状态为:
在最短路径表中,g的最短路径估值没有变小(松弛不成功),没有新结点入队,队列中元素为f,g
队首元素f点出队,对以f为起始点的所有边的终点依次进行松弛操作(此处有d,e,g三个点),此时路径表格状态为:
在最短路径表中,e,g的最短路径估值又变小,队列中无e点,e入队,队列中存在g这个点,g不用入队,此时队列中元素为g,e
队首元素g点出队,对以g为起始点的所有边的终点依次进行松弛操作(此处只有b点),此时路径表格状态为:
在最短路径表中,b的最短路径估值又变小,队列中无b点,b入队,此时队列中元素为e,b
队首元素e点出队,对以e为起始点的所有边的终点依次进行松弛操作(此处只有g这个点),此时路径表格状态为:
在最短路径表中,g的最短路径估值没变化(松弛不成功),此时队列中元素为b
队首元素b点出队,对以b为起始点的所有边的终点依次进行松弛操作(此处只有e这个点),此时路径表格状态为:
在最短路径表中,e的最短路径估值没变化(松弛不成功),此时队列为空了
最终a到g的最短路径为14
上面的一坨说白了就是:先拿一个点(起点)入队,然后那这个点与他相连的边进行更新最小值,若更新成功,把相连的点加入队列中,改点弹出,重复上诉操作,直到队列变成空。这是我们所要求的对短路都放在了dis数组里。
代码:
法一:(但是我不喜欢这种方式)
#include<cstdio> using namespace std; struct node {int x; int value; int next; }; node e[]; ],dis[],st[],queue[]; int main() { int n,m,u,v,w,start,h,r,cur; while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF) { ;i<=;i++) { visited[i]=; dis[i]=-; st[i]=-; //这个初始化给下边那个while循环带来影响 } ;i<=m;i++) { scanf("%d%d%d\n",&u,&v,&w); e[i].x=v; //记录后继节点 相当于链表中的创建一个节点,并使得数据域先记录 e[i].value=w; e[i].next=st[u]; //记录顶点节点的某一个边表节点的下标,相当于在链表中吧该边表节点的next指针先指向他的后继边表节点 st[u]=i; //把该顶点的指针指向边表节点,相当于链表中的插入中,头结点的指针改变 } start=; visited[start]=; dis[start]=; h=; r=; queue[r]=start; while(h!=r) { h=(h+)%; cur=queue[h]; int tmp=st[cur]; visited[cur]=; ) { if (dis[e[tmp].x]<dis[cur]+e[tmp].value) //改成大于号才对 { dis[e[tmp].x]=dis[cur]+e[tmp].value; ) { visited[e[tmp].x]=; r=(r+)%; queue[r]=e[tmp].x; } } tmp=e[tmp].next; } } printf("%d\n",dis[n]); } ; }
法二:
#include<queue> #include<cstdio> #define INF 2147483647LL using namespace std; struct node { int to,dis,next; }edge[]; ],dis[];//n 点的个数 m 连边的条数 s 起点 dis_1 储存最小边 inline void edge_add(int from,int to,int dis) { num++; edge[num].to=to; edge[num].dis=dis; edge[num].next=head[from]; head[from]=num; } void SPFA(int start) { queue<int>que; ]; ;i<=n;i++) dis[i]=INF,if_in_spfa[i]=false;//初始化 dis[start]=,if_in_spfa[start]=true;//加入第一个点(起点) que.push(start);//将起点入队 while(!que.empty())//如果队列不为空,就接着执行操作,直到队列为空 { int cur_1=que.front();//取出队列的头元素 que.pop();//将队列头元素弹出 for(int i=head[cur_1];i;i=edge[i].next)//枚举与该点连接的边 { if(dis[cur_1]+edge[i].dis<dis[edge[i].to])//如果能更新最小值 { dis[edge[i].to]=edge[i].dis+dis[cur_1];//更新最小值 if(!if_in_spfa[edge[i].to])//将所能更新的没入队的元素入队 { if_in_spfa[edge[i].to]=true;//标记为已入队 que.push(edge[i].to);//推入队中 } } } if_in_spfa[cur_1]=false;//将该点标记为出队列 } } int main() { int s; scanf("%d%d%d",&n,&m,&s); int from,to,dis; ;i<=m;i++) { scanf("%d%d%d",&from,&to,&dis); edge_add(from,to,dis);//用邻接链表储存 } SPFA(s);//从起点开始spfa ;i<=n;i++) printf("%d ",dis[i]); ; }
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