bzoj1856

这是一道无比涨姿势的题目

首先总结一下这种输入几个数的题目，

一般不是递推就是数学题

显然，这道题用递推是无法做到O(n)的复杂度的

那我们就考虑这是一道数学题了

我已开始纠结在正向思维了，正向求好像确实不容易；

某牛的报告点醒了我，我们设符合条件的序列为x，不符合的为y

则x+y=c(n+m,n);

现在我们只要求出y即可

然后弱渣的我又卡住了，

还是大牛的报告引用：我们不妨将0看做-1，那么对于一个不合法的序列，必然存在一个位置使得前缀和为-1，我们设这个最小的位置为k，即：a1+a2+……ak=-1，那么前缀和k-1为0，且ak=-1。接着，若我们将所有n+m个的这前k个数字取反，那么得到一个新的数列含有n+1个1和 m-1个-1，这个新的数列有C(n+m,n+1)种。不合法序列与新构造的这个序列是一一对应的关系。

太神了。怎么想到的orz

所以，ans=c(n+m,n)-c(n+m,n+1);

因为n>m, 所以c(m+n,n)-c(n+m,n+1);

（其实现在来看，这就是一个经典的卡特兰数的模型的变形）

由于是组合还需要取模，就要涉及到除法取模；

能回避除法取模的递推法（杨辉三角）复杂度肯定会TLE，

然后我又涨姿势了，

a/b ≡ac (mod p);

bc ≡1 (mod p) 我们把c叫做b的乘法逆元；

一个数a除以另一个数b同余于a乘以b的乘法逆元模p

怎么证呢？

我们把乘法逆元的式子变换一下得 bc=pk+1 k∈Z

则b=(pk+1)/c

则a/b=a*c*(pk+1)≡ac (mod p)

乘法逆元存在的充要条件是gcd(b,p)=1

由于p=20100403>n+m,且是一个质数

显然gcd(b,p)=1;

那么怎么求乘法逆元呢？

看到之前的变换式我们也不难想到，扩展欧几里得

这道题唯一让我欣慰的地方就是，扩展欧几里得写对了……

 const mo=;

 var ans:int64;

     n,m,i:longint;

 procedure exgcd(a,b:int64;var x,y:int64);

   var xx,yy:int64;

   begin

     if b= then

     begin

       x:=;

       y:=;

     end

     else begin

       exgcd(b,a mod b,x,y);

       xx:=x;

       yy:=y;

       x:=yy;

       y:=xx-a div b*yy;

     end;

   end;

 function re(a,p:int64):int64;

   var x,y:int64;

   begin

     exgcd(a,p,x,y);

     x:=(x+mo) mod mo;

     exit(x);

   end;

 function get(x:int64):int64;

   var i:int64;

   begin

     i:=;

     get:=;

     while i<x do

     begin

       inc(i);

       get:=get*i mod mo;

     end;

   end;

 function c(x,y:int64):int64;

   var a,b,d:int64;

   begin

     a:=get(x);

     b:=get(y);

     d:=get(x-y);

     c:=a*re(b,mo) mod mo*re(d,mo) mod mo;

   end;

 begin

   readln(n,m);

   ans:=c(n+m,n)-c(n+m,n+);

   ans:=(ans+mo) mod mo;

   writeln(ans);

 end.

巴特西

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