【LeetCode每天一题】Median of Two Sorted Arrays(两数组中的中位数)
There are two sorted arrays nums1 and nums2 of size m and n respectively. Find the median of the two sorted arrays. The overall run time complexity should be O(log (m+n)). You may assume nums1 and nums2 cannot be both empty.
Example 1: nums1 = [1, 3] nums2 = [2] The median is 2.0
Example 2: nums1 = [1, 2] nums2 = [3, 4] The median is (2 + 3)/2 = 2.5
解决思路
假设两个数组合并后的总长度 L,并且每个数组中的元素都是有序的,我们可以使用二分查找的思路。
第一种解决办法(二分查找):如果我们取出nums1[i] ,用二分查找在数组 nums2中找到 nums1[i] 可以插入的位置,假设 nums1[i] 在 nums2 中的插入位置是 j,那么 A[i] 在整个合并数组中的位置就是 (i + j) ,因为要求的中位数的位置是 L / 2,通过比较 (i + j) 和 L / 2 的大小可以每次舍弃 nums1的一部分,从而减小每次处理的数量。用同样的方法可以收敛数组 nums2。但是这样的复杂度是 O(log m *log n),复杂度大于 O(log(m + n)),显然不是最优的。
使用二分查找的思想进行优化:要求找到两个数组合并之后的中位数,就是要找第 k 大的数(k = (L / 2 + 1),而当 L 是偶数时,要求第 (L / 2) 大和第 (L / 2 + 1) 大的两个数。当我们舍弃掉一部分,假设舍弃部分的长度为 length,那么接下来就是在剩下的数组里求第 (k - length) 大的数。逐层缩小范围,直到两数组其中一个走完。既然是要找合并后的数组 nums 中第 k 大元素,即 nums[k-1],那如果我们从 nums1 和 nums2 中分别取前 k/2 个元素,其中必然有一部分是在数组 nums 的前 k 个数里。设 mid = k / 2,当 nums1[mid - 1] < nums2[mid - 1] 时,可以断定 nums1 的前 mid 个元素是在 nums 的前 k 个数里,那么我们则舍弃 nums1 的前 mid 个元素。反之则舍弃 nums2 的前 mid 个元素。现在数组 nums1 或者nums2 已经舍弃掉 k/2 个元素,缩小查找范围了,按照上面的方法继续递归选择下去,直到找到目标元素。
复杂度
时间复杂度为O(log m+n), 空间复杂度为O(1)
图示步骤
代码
class Solution(object):
def findMedianSortedArrays(self, nums1, nums2):
"""
:type nums1: List[int]
:type nums2: List[int]
:rtype: float
"""
n1, n2 = len(nums1), len(nums2)
if len(nums1) == and len(nums2) == : # 如果两个数组中元素个数都为0,则直接返回
return 0.0
total = n1+n2 # nums 总长度
if total %:
return self.Kth_larget(nums1, nums2, total//2 +1) # 如果总长度为基数,则直接求中间元素
else:
a = self.Kth_larget(nums1, nums2, total//2) # 总长度为偶数,求两个元素,并相加除以2
b = self.Kth_larget(nums1, nums2, total//2+1)
return (a+b)/2.0 def Kth_larget(self, n1, n2, kth):
n1_len,n2_len = len(n1), len(n2) # 两个数组的列表长度
if n1_len == or n2_len == : # 如果其中一个数组为空,则直接返回另一个数组中第k个元素。
return n2[kth-] if n1_len == else n1[kth-]
if kth == : # 如果k等于1,则直接返回两个数组中首部最小的元素
return min(n1[], n2[])
mid = kth//2 # 中间值
a,b = float('inf'), float('inf')
if n1_len >= mid: # 求nums1 中的当前中间值
a = n1[mid-]
if n2_len >= mid: # 求nums2 中的当前中间值
b = n2[mid-]
if a < b: # 然后比较中间值的大小,从而选择剔除的一部分。
return self.Kth_larget(n1[mid:], n2, kth-mid)
else:
return self.Kth_larget(n1, n2[mid:], kth-mid)
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