[AHOI2017/HNOI2017]单旋
2024-09-03 22:36:48
题目
点这里看题目。
分析
最妙的地方在于，这道题其实是用一种数据结构模拟另一种数据结构！
我们需要维护深度和树的结构，以下对于每个操作进行分别讨论。
插入一个新节点
可以发现，这个新节点一定会成为自己的前驱或者后继中深度较大者的儿子。
然后可以更新深度和树的结构。
单旋最小值
发现树会有如下的变化：
如果自己有儿子，那么它只会是自己的右儿子；旋转后，它会接到自己原先的父亲上。
除了自己的儿子以外，其它的节点的深度都会 +1 。
原先的根变成了最小值的儿子，根随后变成最小值。
单旋最大值同理分析。
单旋最小值并删除
先模拟好单旋的修改，然后考虑旋转后的变化：
所有节点深度 -1 。
断开最小值和它的右儿子的边，根变为它的右儿子。
单旋最大值并删除同理分析。
发现树的深度的修改实际上可以理解为值域上一段区间的加减，因此可以用权值线段树维护；前驱后继也可以顺便用它维护了。
中途我们需要用 map 来维护树的形态，或者离散化之后直接存下来也可以。
时间复杂度：\(O(n\log_2|V|)\)。
代码
#include <map>
#include <cstdio>
using namespace std;
const int up = 1e9/*4*/;
const int MAXN = 1e5 + 5, MAXLOG = 30, MAXS = MAXN * MAXLOG/*205*/;
template<typename _T>
void read( _T &x )
{
x = 0;char s = getchar();int f = 1;
while( s > '9' || s < '0' ){if( s == '-' ) f = -1; s = getchar();}
while( s >= '0' && s <= '9' ){x = ( x << 3 ) + ( x << 1 ) + ( s - '0' ), s = getchar();}
x *= f;
}
template<typename _T>
void write( _T x )
{
if( x < 0 ){ putchar( '-' ); x = ( ~ x ) + 1; }
if( 9 < x ){ write( x / 10 ); }
putchar( x % 10 + '0' );
}
map<int, int> fa, ch[2];
int siz[MAXS], dep[MAXS], tag[MAXS], lch[MAXS], rch[MAXS];
int tot, rt, sgrt;
void upt( const int x ) { siz[x] = siz[lch[x]] + siz[rch[x]]; }
void add( const int x, const int v ) { dep[x] += siz[x] * v, tag[x] += v; }
void normalize( const int x ) { if( tag[x] ) add( lch[x], tag[x] ), add( rch[x], tag[x] ), tag[x] = 0; }
void setNode( int &u, const int l, const int r, const int pos, const int v )
{
if( ! u ) u = ++ tot;
if( l == r ) { siz[u] += v; return ; }
int mid = l + r >> 1; normalize( u );
if( pos <= mid ) setNode( lch[u], l, mid, pos, v );
else setNode( rch[u], mid + 1, r, pos, v );
upt( u );
}
void update( int &u, const int l, const int r, const int segL, const int segR, const int v )
{
if( ! u ) u = ++ tot;
if( segL <= l && r <= segR ) { add( u, v ); return ; }
int mid = l + r >> 1; normalize( u );
if( segL <= mid ) update( lch[u], l, mid, segL, segR, v );
if( mid < segR ) update( rch[u], mid + 1, r, segL, segR, v );
upt( u );
}
int query( const int u, const int l, const int r, const int segL, const int segR )
{
if( ! u ) return 0;
if( segL <= l && r <= segR ) return siz[u];
int mid = l + r >> 1, ret = 0; normalize( u );
if( segL <= mid ) ret += query( lch[u], l, mid, segL, segR );
if( mid < segR ) ret += query( rch[u], mid + 1, r, segL, segR );
return ret;
}
int Kth( const int u, const int l, const int r, const int rnk )
{
if( l == r ) return l;
int mid = l + r >> 1; normalize( u );
if( rnk <= siz[lch[u]] ) return Kth( lch[u], l, mid, rnk );
return Kth( rch[u], mid + 1, r, rnk - siz[lch[u]] );
}
int getDep( const int u, const int l, const int r, const int pos )
{
if( l == r ) return dep[u];
int mid = l + r >> 1; normalize( u );
if( pos <= mid ) return getDep( lch[u], l, mid, pos );
return getDep( rch[u], mid + 1, r, pos );
}
int Kth( const int rnk ) { if( rnk <= 0 ) return -1; if( rnk > siz[sgrt] ) return up + 1; return Kth( sgrt, 1, up, rnk ); }
int getDep( const int id ) { if( id < 0 || id > up ) return -0x3f3f3f3f; return getDep( sgrt, 1, up, id ); }
int getMx( const int u, const int l, const int r )
{
if( l == r ) return l;
int mid = l + r >> 1; normalize( u );
if( siz[rch[u]] ) return getMx( rch[u], mid + 1, r );
return getMx( lch[u], l, mid );
}
int getMn( const int u, const int l, const int r )
{
if( l == r ) return l;
int mid = l + r >> 1; normalize( u );
if( siz[lch[u]] ) return getMn( lch[u], l, mid );
return getMn( rch[u], mid + 1, r );
}
int rotMn()
{
int id = getMn( sgrt, 1, up ), rig = ch[1][id], y = fa[id];
if( rt == id ) return 1;
if( rig ) fa[rig] = y; fa[rt] = id, fa[id] = 0;
ch[1][id] = rt, ch[0][y] = rig, rt = id;
int ret = getDep( id );
update( sgrt, 1, up, y, up, 1 );
update( sgrt, 1, up, id, id, -ret + 1 );
return ret;
}
int rotMx()
{
int id = getMx( sgrt, 1, up ), lef = ch[0][id], y = fa[id];
if( rt == id ) return 1;
if( lef ) fa[lef] = y; fa[rt] = id, fa[id] = 0;
ch[0][id] = rt, ch[1][y] = lef, rt = id;
int ret = getDep( id );
update( sgrt, 1, up, 1, y, 1 );
update( sgrt, 1, up, id, id, -ret + 1 );
return ret;
}
int main()
{
int op, k, N;
read( N );
while( N -- )
{
read( op );
if( op == 1 )
{
read( k ), setNode( sgrt, 1, up, k, 1 );
if( siz[1] == 1 )
{
fa[rt = k] = 0, update( sgrt, 1, up, k, k, 1 );
puts( "1" );
continue;
}
int rnk = query( sgrt, 1, up, 1, k );
int pre = Kth( rnk - 1 ), suf = Kth( rnk + 1 );
int dpre = getDep( pre ), dsuf = getDep( suf );
if( dpre > dsuf ) fa[k] = pre, ch[1][pre] = k, update( sgrt, 1, up, k, k, dpre + 1 );
else fa[k] = suf, ch[0][suf] = k, update( sgrt, 1, up, k, k, dsuf + 1 );
write( getDep( k ) ), putchar( '\n' );
}
if( op == 2 ) write( rotMn() ), putchar( '\n' );
if( op == 3 ) write( rotMx() ), putchar( '\n' );
if( op == 4 )
{
int ans = rotMn(), tmp = rt, y = ch[1][tmp];
update( sgrt, 1, up, tmp + 1, up, -1 );
update( sgrt, 1, up, tmp, tmp, - ans );
if( y ) fa[y] = 0; ch[1][tmp] = 0, rt = y;
setNode( sgrt, 1, up, tmp, -1 );
write( ans ), putchar( '\n' );
}
if( op == 5 )
{
int ans = rotMx(), tmp = rt, y = ch[0][tmp];
update( sgrt, 1, up, 1, tmp - 1, -1 );
update( sgrt, 1, up, tmp, tmp, -ans );
if( y ) fa[y] = 0; ch[0][tmp] = 0, rt = y;
setNode( sgrt, 1, up, tmp, -1 );
write( ans ), putchar( '\n' );
}
}
return 0;
}
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