n阶行列式的全排列求解(Java)
2024-10-09 20:45:08
上一个随笔,我介绍了全排列的递归求解,其中还有排列的逆序数等代码,这次我来介绍如何使用全排列计算行列式的值。
使用全排列求行列式的值,简单的描述就是:
- 对这个行列式每一行选取一个数,这些数处于行列式的不同的列,将这些数相乘,结果记为A_1
- 将这些数的列标按行标从上到下的顺序排列,如果这个排列的逆序数为偶数,A_1加个正号+A_1,否则加个负号-A_1
- 由排列组合知识我们知道我们一共能从行列式中取出n!种情况。他们的和就是行列式的值
(刚开始用博客园,没找到插入latex的地方,我就截个图了。。。)
可见,我们需要实现以下功能:
1. 定义矩阵类
2. 获得矩阵列标的全排列
3. 对每个排列,在矩阵的每一行取一个数,并计算这个排列的逆序数,决定符号
4. 计算取出的数的求积,综合以上操作,求出行列式的值
逐个实现!
1. 首先,类定义的代码分别如下(成员函数逐一介绍):
public class Matrix { /**
* author:ZhaoKe
* college: CUST
*/
public int row;
public int column;
public double[][] elements; public Matrix() {
this.elements = new double[this.row][this.column];
for (int i = 0; i < this.row; i++) {
for (int j = 0; j < this.column; j++) {
this.elements[i][j] = 0;
}
}
} public Matrix(double[][] elements) {
this.row = elements.length;
this.column = elements[0].length;
this.elements = new double[this.row][this.column];
for (int i = 0; i < this.row; i++) {
for (int j = 0; j < this.column; j++) {
this.elements[i][j] = elements[i][j];
}
}
}
}
2. 然后我们要获得全排列,这部分上一次已经讲过,完整代码请看一下 https://www.cnblogs.com/zhaoke271828/p/12530031.html
3. 根据排列从矩阵中取数,所谓排列,我们用数组表示,那么功能也很好实现,大家可以自己试一下,注意这是Matrix类的成员函数
public double[] getArrayByColumnIndex(int[] index) {
double[] array = new double[index.length];
for (int i = 0; i < this.row; i++) {
array[i] = this.elements[i][index[i]];
}
return array;
}
4. 然后直接求行列式的值:
根据逆序数判断正负号:
this.isOdd(perm.against(result[i]))?1:-1
这个perm表示Permutation类的实例,这个类的定义参考我的另一个博客 全排列的Java实现 https://www.cnblogs.com/zhaoke271828/p/12530031.html
public boolean isOdd(int number) {
return number %2==0;
} public double det() throws Exception {
if (this.row != this.column) {
throw new Exception("该矩阵不是方阵,不可求行列式,考虑求广义行列式吧!");
}
int[] index = new int[this.column];
for (int i = 0; i < index.length; i++) {
index[i] = i;
}
Permutation perm = new Permutation(index);
perm.perm(index, 0);
int[][] result = perm.getResult();
double sum = 0;
for (int i = 0; i < result.length; i++) {
// System.out.println("本次运算的数组:" + Arrays.toString(getArrayByColumnIndex(result[i])));
// System.out.println("符号是:" + (this.isOdd(perm.against(result[i]))?1:-1));
sum += Array.prod(getArrayByColumnIndex(result[i]))*(this.isOdd(perm.against(result[i]))?1:-1);
}
return sum;
}
其中涉及到对一个数组求连乘积,这个大家可以自己实现以下,我这里又定义了数组类Array,代码如下:
其实变麻烦了,不过博主习惯这种操作hhhhh~如果还需要关于数组的操作,方便添加功能
public class Array {
public double[] elements; public Array(double[] elements) {
this.elements = elements;
} public static double prod(double[] array) {
double prod = 1;
for (int i = 0; i < array.length; i++) {
prod *= array[i];
}
return prod;
}
}
以上就是全部代码了,可以试一下效果:
public static void main(String[] args) {
double[][] matrix = {
{1, 2, 4, 8},
{1,1,1,1},
{1, 4, 16, 64},
{1,5,25,125}
};
Matrix m = new Matrix(matrix);
try {
System.out.println(m.det());
} catch (Exception e) {
// TODO Auto-generated catch block
e.printStackTrace();
}
}
结果正是 -72.0
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