题目描述

某一村庄在一条路线上安装了 $n$ 盏路灯，每盏灯的功率有大有小（即同一段时间内消耗的电量有多有少）。老张就住在这条路中间某一路灯旁，他有一项工作就是每天早上天亮时一盏一盏地关掉这些路灯。

为了给村里节省电费，老张记录下了每盏路灯的位置和功率，他每次关灯时也都是尽快地去关，但是老张不知道怎样去关灯才能够最节省电。他每天都是在天亮时首先关掉自己所处位置的路灯，然后可以向左也可以向右去关灯。开始他以为先算一下左边路灯的总功率再算一下右边路灯的总功率，然后选择先关掉功率大的一边，再回过头来关掉另一边的路灯，而事实并非如此，因为在关的过程中适当地调头有可能会更省一些。

现在已知老张走的速度为 $1m/s$，每个路灯的位置（是一个整数，即距路线起点的距离，单位：$m$）、功率（$W$），老张关灯所用的时间很短而可以忽略不计。

请你为老张编一程序来安排关灯的顺序，使从老张开始关灯时刻算起所有灯消耗电最少（灯关掉后便不再消耗电了）。

输入格式

第一行是两个数字$n$（表示路灯的总数）和 $c$（老张所处位置的路灯号）；

接下来 $n$ 行，每行两个数据，表示第 $1$ 盏到第 $n$ 盏路灯的位置和功率。数据保证路灯位置单调递增。

输出格式

一个数据，即最少的功耗（单位：$J$，$1J=1W×s$）。

输入输出样例

输入 #1

5 3

2 10

3 20

5 20

6 30

8 10

输出 #1

270

说明/提示

样例解释

此时关灯顺序为 3 4 2 1 5。

数据范围

$1≤n≤50，1≤c≤n$

分析

这个题从题目的意思，应该挺容易就能看出来是一个区间$dp$，因为题意就是一个大爷在一个“区间”里关灯。所以就可以根据区间长度来进行状态转移。首先想到如果大爷关灯从$i$到$j$,当然这并不代表关灯顺序，大爷关灯肯定是走过的路上的灯都关了，因为这肯定比走过不关再回来关要优。而在$i$到$j$这一段关了灯的区间里，大爷有两种位置情况，一种是在$i$，也就是左边，另一种就是右边，所以我们的dp数组就可以根据这个来开，也就是$dp[i][j][0]$和$dp[i][j][1]$分别表示关了i，j之间的灯，然后在最左和最右两种位置的情况，而区间长度肯定是从最短到最长，最短为1，然后依次增加，所以每一次的$dp[i][j]$的状态都是从上一个转移下来的，也就是$dp[i+1][j]$和$dp[i][j-1]，然后分别在左右端点两种，依次进行状态转移。而能耗的增量可以通过时间和区间里能耗的前缀和来进行转移，下边我用一个转移方程来进行一下具体说明：

首先是个转移方程：

\[dp[i][j][0] = min(dp[i+1][j][0]+(pos[i+1] - pos[i])\times sum[i+1][j],dp[i+1][j][1]+(pos[j]-pos[i])\times sum[i+1][j])
\]

在这里，$pos$代表位置（这里的位置说的是下标，不是距离，但是pos数组存的是距离，用来计算时间）$sum$数组代表的是从$i$到$j$之外的能耗，$sum$需要一个预处理，下边单独说，这里先介绍含义，方便理解。这个状态转移方程的意思也就是$i$到$j$区间内，大爷在左边的时候，通过不同的上个状态的位置来进行转移，值得一提的是，因为此时大爷在左边界，所以肯定是由$dp[i+1][j]$转移而来，假如是由$dp[i][j-1]$转移来的话，应当在右侧，这就是下一个状态转移方程。继续看这个方程，从$dp[i+1][j]$转移而来，所以也有两种，左右边界各一种，在左边界时，他所需的时间就是$pos[i+1] - pos[i]$,右边界时就是$pos[j]-pos[i]$，而花费的功率就是sum乘以时间，分别为：$(pos[i+1] - pos[i])\times sum[i+1][j]$和$(pos[j]-pos[i])\times sum[i+1][j]$,看到这里可能有人会有疑惑，从$i$到$j$之外的能耗为啥是$i+1$到$j$呢，现在我们来说一下$sum$的得出：我们先用$val$数组当做前缀和，区间$i$到$j$的能耗就是$val[j]-val[i-1]$,$sum[i][j]$就是用$val[n]$减去上边的能耗，具体见代码。现在大概就都解释清楚了。然后就是两个关键的状态转移方程：

\[dp[i][j][0] = min(dp[i+1][j][0]+(pos[i+1] - pos[i])*sum[i+1][j],dp[i+1][j][1]+(pos[j]-pos[i])*sum[i+1][j]) \\
dp[i][j][1] = min(dp[i][j-1][1]+(pos[j]-pos[j-1])*sum[i][j-1],dp[i][j-1][0]+(pos[j]-pos[i])*sum[i][j-1])\]

就这样了，然后看一下代码加深一下理解⑧

代码

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int maxn = 55;

int pos[maxn];

int sum[maxn][maxn];

int dp[maxn][maxn][3];

int v[maxn];

int n,c;

int main(){

	cin>>n>>c;

	for(int i=1;i<=n;++i){

		int w;

		cin>>pos[i]>>w;

		v[i]=v[i-1]+w;

	}

	memset(dp,0x3f,sizeof(dp));

	dp[c][c][0] = dp[c][c][1] = 0;

	for(int i=1;i<=n;++i){

		for(int j=1;j<=n;++j){

			sum[i][j] = v[n] - (v[j] - v[i-1]);

		}

	}

	for(int j = c;j<=n;++j){

		for(int i=j-1;i>=1;--i){

			dp[i][j][0] = min(dp[i+1][j][0]+(pos[i+1] - pos[i])*sum[i+1][j],dp[i+1][j][1]+(pos[j]-pos[i])*sum[i+1][j]);

			dp[i][j][1] = min(dp[i][j-1][1]+(pos[j]-pos[j-1])*sum[i][j-1],dp[i][j-1][0]+(pos[j]-pos[i])*sum[i][j-1]);

		}

	}

	int ans = min(dp[1][n][0],dp[1][n][1]);

	cout<<ans<<endl;

}

巴特西

洛谷P1220关路灯【区间dp】