最长上升子序列nlogn算法

在川大oj上遇到一道题无法用n^2过于是，各种纠结，最后习得nlogn的算法

最长递增子序列，Longest Increasing Subsequence 下面我们简记为 LIS。
排序+LCS算法以及 DP算法就忽略了，这两个太容易理解了。

假设存在一个序列d[1..9] = 2 1 5 3 6 4 8 9 7，可以看出来它的LIS长度为5。n
下面一步一步试着找出它。
我们定义一个序列B，然后令 i = 1 to 9 逐个考察这个序列。
此外，我们用一个变量Len来记录现在最长算到多少了

首先，把d[1]有序地放到B里，令B[1] = 2，就是说当只有1一个数字2的时候，长度为1的LIS的最小末尾是2。这时Len=1

然后，把d[2]有序地放到B里，令B[1] = 1，就是说长度为1的LIS的最小末尾是1，d[1]=2已经没用了，很容易理解吧。这时Len=1

接着，d[3] = 5，d[3]>B[1]，所以令B[1+1]=B[2]=d[3]=5，就是说长度为2的LIS的最小末尾是5，很容易理解吧。这时候B[1..2] = 1, 5，Len＝2

再来，d[4] = 3，它正好加在1,5之间，放在1的位置显然不合适，因为1小于3，长度为1的LIS最小末尾应该是1，这样很容易推知，长度为2的LIS最小末尾是3，于是可以把5淘汰掉，这时候B[1..2] = 1, 3，Len = 2

继续，d[5] = 6，它在3后面，因为B[2] = 3, 而6在3后面，于是很容易可以推知B[3] = 6, 这时B[1..3] = 1, 3, 6，还是很容易理解吧？ Len = 3 了噢。

第6个, d[6] = 4，你看它在3和6之间，于是我们就可以把6替换掉，得到B[3] = 4。B[1..3] = 1, 3, 4， Len继续等于3

第7个, d[7] = 8，它很大，比4大，嗯。于是B[4] = 8。Len变成4了

第8个, d[8] = 9，得到B[5] = 9，嗯。Len继续增大，到5了。

最后一个, d[9] = 7，它在B[3] = 4和B[4] = 8之间，所以我们知道，最新的B[4] =7，B[1..5] = 1, 3, 4, 7, 9，Len = 5。

于是我们知道了LIS的长度为5。

!!!!! 注意。这个1,3,4,7,9不是LIS，它只是存储的对应长度LIS的最小末尾。有了这个末尾，我们就可以一个一个地插入数据。虽然最后一个d[9] = 7更新进去对于这组数据没有什么意义，但是如果后面再出现两个数字 8 和 9，那么就可以把8更新到d[5], 9更新到d[6]，得出LIS的长度为6。

然后应该发现一件事情了：在B中插入数据是有序的，而且是进行替换而不需要挪动——也就是说，我们可以使用二分查找，将每一个数字的插入时间优化到O(logN)~~~~~于是算法的时间复杂度就降低到了O(NlogN)～！

#include<cstdio>

#include<iostream>

#include<cstring>

#define MAXN 40005

using namespace std;

int arr[MAXN],ans[MAXN],len;

int binary_search(int i){

	int left,right,mid;

	left=1,right=len+1;

	while(left<=right){

		mid = (right+left)>>1;

		if(ans[mid]>=arr[i]) right=mid-1;

		else left=mid+1;

	}

	return left;

}

int main()

{	int T,p,i,j,k;

	scanf("%d",&T);

	while(T--){

		scanf("%d",&p);

		for(i=1; i<=p; ++i)

			scanf("%d",&arr[i]);

		ans[1] = arr[1];

		len=1;

		for(i=2; i<=p; ++i){

			if(arr[i]>ans[len])

				ans[++len]=arr[i];

			else{

				int pos=binary_search(i);//可以使用lower_bound(ans+1,ans+len+1,arr[i])-ans

				ans[pos] = arr[i];

			}

		}

		printf("%d\n",len);

	}

	return 0;

}

巴特西

[模板]LIS（最长上升子序列）

最长上升子序列nlogn算法

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