【noi2019集训题1】 脑部进食 期望dp+高斯消元
题目大意:有n个点,m条有向边,每条边上有一个小写字母。
有一个人从1号点开始在这个图上随机游走,游走过程中他会按顺序记录下走过的边上的字符。
如果在某个时刻,他记录下的字符串中,存在一个子序列和S2相同,或者存在一个子串和S1相同,那么他就会当场去世。
他想知道他会不会当场去世,如果会,他想问你当场去世的时间的期望。
数据范围:n≤20,|S1|≤10,|S2|≤50
我们考虑列一个dp方程出来
设f[i][j][k]表示这人从1号点出发,当前走到i号点,且子串覆盖了S1的前j位,覆盖了S2的前k位的期望步数
然后你会发现你做不出来,因为最终根本无法统计答案(然后你就进死胡同了)
我们尝试把整个方程反过来
设$f[i][j][k]$表示你从$i$号点出发,之前走的路已经覆盖了$S1$的前$j$位,$S2$串的前$k$位的情况下,期望走多少部后会去世。
最终需要求的答案显然是$f[1][0][0]$
我们不难列出$f[i][j][k]=1+\frac{1}{d[i]} \sum\limits_{(i,u)∈E}f[u][j'][k']$
其中$d[i]$表示$i$号点的出度,$E$表示边集,$j'$和$k'$的具体值视该转移边的字母而订,非常好求。
这个方程我们显然可以通过高斯消元求解,时间复杂度$O(n^3|S1|^3|S2|^3)$,愉快$TLE$
无解的情况出现即为某一条方程出现了被零除。
我们发现,从$f[i][j'][k']$向$f[i][j][k]$转移的过程中,有$k'≥k$
那么我们显然可以固定$k$,对每一个$k$做一次高斯消元,然后向下一层传值,再高斯消元即可。
时间复杂度于是就降低到$O(n^3|S1|^3|S2|)$了
看起来有$4$个亿
实际上因不明原因,每一层需要转移的节点数根本就去不到理论上届
所以只跑了不到$20ms$(大雾)
#include<bits/stdc++.h>
#define M 205
#define eps 1e-6
using namespace std; double f[M][M]={},ans[M]={}; void gauss(int n){
for(int i=;i<=n;i++){
int id=i;
for(int j=i;j<=n;j++) if(f[id][i]<f[j][i]) id=j;
swap(f[i],f[id]);
if(fabs(f[i][i])<eps) {printf("-1\n"); exit();}
for(int j=i+;j<=n;j++){
double cha=f[j][i]/f[i][i];
for(int k=i;k<=n+;k++) f[j][k]-=f[i][k]*cha;
}
}
for(int i=n;i;i--){
for(int j=i+;j<=n;j++) f[i][n+]-=ans[j]*f[i][j];
ans[i]=f[i][n+]/f[i][i];
}
} struct edge{int u,next;char v;}e[]={}; int head[M]={},use=;
void add(int x,int y,char z){use++;e[use].u=y;e[use].v=z;e[use].next=head[x];head[x]=use;}
int n,m; char w[M]={},p[M]={}; int lenw,lenp;
int nxt[M]={}; void upd(char C,int id,int &nowj,int &nowk){
for(;nowj&&w[nowj+]!=C;nowj=nxt[nowj]);
if(w[nowj+]==C) nowj++;
if(p[nowk+]==C) nowk++;
} int vis[][][]={};
void dfs(int i,int j,int k){
if(vis[i][j][k]) return;
vis[i][j][k]=;
if(j==lenw||k==lenp) return;
for(int l=head[i];l;l=e[l].next){
char C=e[l].v; int id=e[l].u;
int nowj=j,nowk=k;
upd(C,id,nowj,nowk);
dfs(id,nowj,nowk);
}
} int id[][]={},iid[][]={},cnt=; double d[M]={}; int main(){
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=;i<=m;i++){
int x,y; char z[]; scanf("%d%d%s",&x,&y,z);
add(x,y,z[]); d[x]++;
}
scanf("%s",w+); lenw=strlen(w+);
scanf("%s",p+); lenp=strlen(p+);
for(int i=,j=;i<=n;i++){
for(;j&&w[j+]!=w[i];j=nxt[j]);
if(w[j+]==w[i]) j++;
nxt[i]=j;
}
dfs(,,);
for(int k=lenp-;~k;k--){
int cnt=;
for(int i=;i<=n;i++)
for(int j=;j<lenw;j++){
id[i][j]=;
if(vis[i][j][k])
id[i][j]=++cnt;
}
memset(f,,sizeof(f));
for(int i=;i<=n;i++)
for(int j=;j<lenw;j++) if(id[i][j]){
int ID=id[i][j];
f[ID][ID]=d[i];
f[ID][cnt+]=d[i];
for(int l=head[i];l;l=e[l].next){
char C=e[l].v; int u=e[l].u;
int nowj=j,nowk=k;
upd(C,u,nowj,nowk);
if(nowj==lenw) continue;
if(nowk==k){
f[ID][id[u][nowj]]--;
}else{
f[ID][cnt+]+=ans[iid[u][nowj]];
}
}
}
memcpy(iid,id,sizeof(id));
memset(ans,,sizeof(ans));
gauss(cnt);
}
printf("%.10lf\n",ans[]);
}
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