LCA模板 ( 最近公共祖先 )
2024-10-07 04:28:13
LCA 有几种经典的求取方法、这里只给出模板,至于原理我完全不懂。
1、RMQ转LCA、复杂度O(n+nlog2n+m)
大致就是 DFS求出欧拉序 => 对欧拉序做ST表 => LCA(u, v) 即为 u、v 最先出现在欧拉序中的编号之间的最小值。
因为 LCA 的子树中必定有一个节点是 u,一个是 v,而且必定在两个节点到根节点的唯一路径上。
例如有欧拉序列 1 2 1 3 4 3 1 则 LCA(2, 3) == 1 、首次出现 2 的下标是 2、首次出现 3 的下标是 4、则 LCA 就是下标 2~4 之间的最小值即 1
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; ;///顶点数 ]; int Head[maxn], cnt; int n, q, s;///点数、问询数、dfs起点 int fp[maxn]; int dfsLen;///每个顶点在欧拉序中第一次出现的位置、DFS序的长度(用做时间戳) int id[maxn]; int idLen;///每个顶点在DFS序中访问次序(用于离散化)、id数组的长度 ][];///跑ST表的dp数组(第二维应开到 ceil(log2(maxn<<1)) ) inline void init() { memset(dp, , sizeof(dp)); memset(Head, -, sizeof(Head)); cnt = ; idLen = dfsLen = ; } inline void AddEdge(int from, int to, int weight) { Edge[cnt].v = to; Edge[cnt].nxt = Head[from]; Head[from] = cnt++; } void dfs(int v, int Fa) { int tmp; id[tmp = ++idLen] = v; dp[fp[v] = ++dfsLen][] = tmp; ; i=Edge[i].nxt){ int Eiv = Edge[i].v; if(Eiv == Fa) continue; dfs(Eiv, v, d); dp[++dfsLen][] = tmp; } } void GetST() { ; (<<j)<=dfsLen; j++){ ; i+(<<j)-<=dfsLen; i++){ dp[i][j] = min(dp[i][j-], dp[i+(<<(j-))][j-]); } } } int LCA(int u, int v) { if(fp[u] > fp[v]) swap(u, v); int L = fp[u], R = fp[v]; )/log()); <<k)+][k])]; } int main(void) { scanf("%d %d %d", &n, &s, &q); ; i<n; i++){ int u, v; scanf("%d %d", &u, &v); AddEdge(u, v); AddEdge(v, u); } dfs(s, -); GetST(); while(q--){ int u, v; scanf("%d %d", &u, &v); printf("%d\n", LCA(u, v)); } ; }
2、树上倍增 、复杂度 O(n+nlog2maxDep+mlog2maxDep), maxDep在最坏情况下等于n
大致就是 DFS求出每个节点的深度、父亲节点这两个信息 => 通过倍增求出每个节点向根节点方向走 2^j 所能到达节点是什么
=> LCA(u, v) 就可以通过预先处理好的倍增数组先移动u、v使其深度一样、然后再一起 2^j 向上跳,直到跳转到 LCA
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; ;///顶点的数目 ]; int Head[maxn], cnt; int dep[maxn], maxDep;///每个点的深度、最深点的深度 ];///倍增记录数组( Fa[i][j] 从 i 号节点开始走 2^j 步能到达的点 ) int n, m, s, q;///点、边、dfs起点、问询数 inline void init() { memset(Head, -, sizeof(Head)); memset(Fa, -, sizeof(Fa)); cnt = ; maxDep = ; } inline void AddEdge(int from, int to) { Edge[cnt].v = to; Edge[cnt].nxt = Head[from]; Head[from] = cnt++; } void dfs(int v) { ] != -) maxDep = max(maxDep, dep[v] = dep[Fa[v][]]+); ; i=Edge[i].nxt){ int Eiv = Edge[i].v; ]) continue; Fa[Eiv][] = v; dfs(Eiv); } } inline void Doubling() { )); ; j<=UP; j++){ ; i<=n; i++){ ] != -) Fa[i][j] = Fa[Fa[i][j-]][j-]; } } } int LCA(int u, int v) { )); if(dep[u] < dep[v]) swap(u, v); ; j--) && dep[Fa[u][j]] >= dep[v]) u = Fa[u][j]; if(u == v) return v; ; j--){ if(Fa[u][j] != Fa[v][j]){ u = Fa[u][j]; v = Fa[v][j]; } } ]; } int main(void) { scanf("%d %d %d", &n, &s, &q); ; i<n; i++){ int u, v; scanf("%d %d", &u, &v); AddEdge(u, v); AddEdge(v, u); } dfs(s); Doubling(); while(q--){ int u, v; scanf("%d %d", &u, &v); printf("%d\n", LCA(u, v)); } ; }
3、Tarjan算法( 离线 )、复杂度 O(n+m+nα(n))
大致就是 算了给个链接吧 Tarjan求LCA
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; ; ]; struct Query{ int v, id; Query(){}; Query(int _v, int _id):v(_v),id(_id){}; }; vector<Query> q[maxn]; int Head[maxn], cnt; int Fa[maxn];///并查集数组 int ans[maxn];///问询数数组大小要注意一下、不一定是 maxn bool vis[maxn];///Tarjan算法中的标记数组 int n, m, s, qNum;///点、边、Tarjan递归起点、问询数 inline void init() { memset(Head, -, sizeof(Head)); memset(vis, false, sizeof(vis)); cnt = ; } inline void AddEdge(int from, int to) { Edge[cnt].v = to; Edge[cnt].nxt = Head[from]; Head[from] = cnt++; } int Findset(int x) { int root = x; while(Fa[root] != root) root = Fa[root]; int tmp; while(Fa[x] != root){ tmp = Fa[x]; Fa[x] = root; x = tmp; } return root; } void Tarjan(int v, int f) { Fa[v] = v; ; i=Edge[i].nxt){ int Eiv = Edge[i].v; if(Eiv == f) continue; Tarjan(Eiv, v); Fa[Findset(Eiv)] = v; } vis[v] = true; ; i<q[v].size(); i++){ if(vis[q[v][i].v]) ans[q[v][i].id] = Findset(q[v][i].v); } } int main(void) { init(); scanf("%d %d %d %d", &n, &m, &s, &qNum); ; i<=m; i++){ int u, v; scanf("%d %d", &u, &v); AddEdge(u, v); AddEdge(v, u); } ; i<q; i++){ int u, v; scanf("%d %d", &u, &v); q[u].push_back(Query(v, i)); q[v].push_back(Query(u, i)); } Tarjan(s, -); ; i<q; i++) printf("%d\n", ans[i]); ; }
4、树链剖分
并不会树剖,以后再补......
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