poj3208 Apocalypse Someday[数位DP]
数位中出现至少3个连续的'6'的数字(称魔鬼数),询问满足要求的排名k的数。
经典题型。采用试填法。
递推做法:预处理出$i$位数字中满足要求的数(下记为'魔鬼数')。对每一位都从0到9试一遍,然而卡在了试填时试到6这个数时该怎么办,不太会做。然后才知道可以记录填到目前的上一位已有多少个连续的6,这样可以配合当前的计算出来。
所以就有这个$f[i][0]=9*(f[i-1][0]+f[i-1][1]+f[i-1][2]),f[i][1]=f[i-1][0],f[i][2]=f[i-1][1],f[i][3]=10*f[i-1][3]+f[i-1][2]$
其中0表示开头有0个6,1表示开头有一个6,2同理,3表示当前小于等于i位的魔鬼数的数量(也就相当于把各位数的魔鬼数累积起来)
注意是算入前导0的。比如有004566674,因为试填时他也算一种。而开头不必担心,看代码第1次循环就会发现考虑0的时候恰好把小于i位的魔鬼数数量都减掉了,说不太清楚,还是自己想想吧。
用k以辅助记录当前填过的末尾连续的6数量,用于处理填6时计算,每填一个6就多算一下。k到3时表示我已经诞生连续3个的6了,所以后面所有的填法都合法,这是要再单独特殊处理,看code。
其他就是常规的试填。
说两点细节:
注意边界处理 ,考虑预处理DP值的边界,尤其是f[0],f[1]等;
试填也要考虑边界。比如开始时。结束时(最后一位),这直接和f[0][0]的初始化产生了联系。所以两个边界都要看一下检查正确性。
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define dbg(x) cerr<<#x<<" = "<<x<<endl
#define ddbg(x,y) cerr<<#x<<" = "<<x<<" "<<#y<<" = "<<y<<endl
using namespace std;
typedef pair<int,int> pii;
typedef long long ll;
template<typename T>inline char MIN(T&A,T B){return A>B?A=B,:;}
template<typename T>inline char MAX(T&A,T B){return A<B?A=B,:;}
template<typename T>inline T _min(T A,T B){return A<B?A:B;}
template<typename T>inline T _max(T A,T B){return A>B?A:B;}
template<typename T>inline T read(T&x){
x=;int f=;char c;while(!isdigit(c=getchar()))if(c=='-')f=;
while(isdigit(c))x=x*+(c&),c=getchar();return f?x=-x:x;
}
ll f[][],rk,cnt;
int T;
inline void preprocess(){
f[][]=,f[][]=;f[][]=;//←注意边界处理 ,DP和试填都要检验一下
for(register int i=;i<=;++i)f[i][]=*(f[i-][]+f[i-][]+f[i-][]),f[i][]=f[i-][],f[i][]=f[i-][],f[i][]=*f[i-][]+f[i-][];
} int main(){//freopen("test.in","r",stdin);freopen("test.out","w",stdout);
read(T);preprocess();while(T--){
read(rk);int x;for(x=;x<=;++x)if(rk<=f[x][])break;
for(register int i=x,k=;i;--i){
for(register int j=;j<=;++j){
cnt=f[i-][];
if(k==)cnt+=f[i-][]+f[i-][]+f[i-][];
else if(j==)for(register int l=-k;l<;++l)cnt+=f[i-][l];
if(rk<=cnt){
if(k<){if(j==)++k;else k=;}
printf("%d",j);break;
}
else rk-=cnt;
}
}
puts("");
}
return ;
}
然后讲一下记搜的,可以套模板。求第k大的数,可以转化为二分枚举区间[1,n]的右边界n,看[1,n]的满足要求的数,由于其随区间变大而单调增,所以是二分。通过不断调整,可以找到最小n使得区间[1,n]恰有k个满足要求的数。这个因为是套模板,所以很好写。但是二分的话会让复杂度多一个log。。
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define dbg(x) cerr<<#x<<" = "<<x<<endl
using namespace std;
typedef long long ll;
template<typename T>inline char MIN(T&A,T B){return A>B?A=B,:;}
template<typename T>inline char MAX(T&A,T B){return A<B?A=B,:;}
template<typename T>inline T _min(T A,T B){return A<B?A:B;}
template<typename T>inline T _max(T A,T B){return A>B?A:B;}
template<typename T>inline T read(T&x){
x=;int f=;char c;while(!isdigit(c=getchar()))if(c=='-')f=;
while(isdigit(c))x=x*+(c&),c=getchar();return f?x=-x:x;
}
int T;
ll L,R,f[][][][],b[],aim;
ll dp(int len,bool las,bool las2,bool fil,bool limit){
if(!len)return fil;
if(!limit&&~f[len][las][las2][fil])return f[len][las][las2][fil];
ll cnt=;int num=limit?b[len]:;
for(register int i=;i<=num;++i)cnt+=dp(len-,i==,las,fil||(las&&las2&&i==),limit&&i==num);
return limit?cnt:f[len][las][las2][fil]=cnt;
}
inline ll solve(ll x){
int k=;while(x)b[++k]=x%,x/=;
return dp(k,,,,);
} int main(){//freopen("tmp.txt","r",stdin);//freopen("test.out","w",stdout)£»
memset(f,-,sizeof f);
read(T);while(T--){
read(aim);L=,R=1e10;ll mid;
while(L<R){
mid=L+R>>;
if(solve(mid)<aim)L=mid+;
else R=mid;
}
printf("%lld\n",L);
}
return ;
}
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