【bzoj4128】Matrix 矩阵乘法+Hash+BSGS
2024-08-30 02:32:24
题目描述
给定矩阵A,B和模数p,求最小的x满足
A^x = B (mod p)
输入
第一行两个整数n和p,表示矩阵的阶和模数,接下来一个n * n的矩阵A.接下来一个n * n的矩阵B
输出
输出一个正整数,表示最小的可能的x,数据保证在p内有解
样例输入
2 7
1 1
1 0
5 3
3 2
样例输出
4
题解
矩阵乘法+Hash+BSGS
看到题目很容易想到BSGS算法,但要求逆元,而矩阵的逆不是很好求出,怎么办?
事实上,BSGS有两种形式:$a^{km+t}\equiv(mod\ p)$和$a^{km-t}\equiv b(mod\ p)$
第一种形式是经典的BSGS,并可以应用到EXBSGS中,而第二种形式的优点在于不需要求逆元,放到此题中就是不需要求矩阵的逆。
按照BSGS的思路,原题可化为$A^{km}\equiv B*A^t(mod\ p)$
于是我们便可以把$B*A^t(mod\ p)$存到map中,然后枚举k的取值来查询。
如何快速查询?就需要使用Hash。
这里为了防止两个不同矩阵的Hash值冲突,使用了两个底数进行Hash。
然后就可以愉快的套BSGS的板子了~
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <map>
#include <utility>
#define N 75
using namespace std;
typedef unsigned long long ull;
const ull base1 = 100003 , base2 = 1000003;
int n , p;
struct data
{
ull v[N][N] , val1 , val2;
data(int x)
{
int i;
memset(v , 0 , sizeof(v)) , val1 = val2 = 0;
for(i = 1 ; i <= n ; i ++ ) v[i][i] = x;
}
data operator*(const data a)const
{
int i , j , k;
data ans(0);
for(i = 1 ; i <= n ; i ++ )
for(j = 1 ; j <= n ; j ++ )
for(k = 1 ; k <= n ; k ++ )
ans.v[i][j] = (ans.v[i][j] + v[i][k] * a.v[k][j]) % p;
return ans;
}
void hash()
{
int i , j;
for(i = 1 ; i <= n ; i ++ )
for(j = 1 ; j <= n ; j ++ )
val1 = val1 * base1 + v[i][j] , val2 = val2 * base2 + v[i][j];
}
};
map<pair<ull , ull> , int> f;
map<pair<ull , ull> , int>::iterator it;
int main()
{
int i , j , k , m;
scanf("%d%d" , &n , &p) , m = (int)ceil(sqrt(p));
data A(0) , B(0) , C(1) , D(1);
for(i = 1 ; i <= n ; i ++ ) for(j = 1 ; j <= n ; j ++ ) scanf("%llu" , &A.v[i][j]);
for(i = 1 ; i <= n ; i ++ ) for(j = 1 ; j <= n ; j ++ ) scanf("%llu" , &B.v[i][j]);
for(i = 1 ; i <= m ; i ++ ) B = B * A , B.hash() , f[make_pair(B.val1 , B.val2)] = i;
for(i = 1 ; i <= m ; i ++ ) C = C * A;
for(i = 1 ; i <= m ; i ++ )
{
D = D * C , D.hash() , it = f.find(make_pair(D.val1 , D.val2));
if(it != f.end())
{
printf("%d\n" , i * m - it->second);
return 0;
}
}
return 0;
}
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