洛谷P3200 [HNOI2009]有趣的数列(Catalan数)
2024-10-20 01:46:17
P3200 [HNOI2009]有趣的数列
题目描述
我们称一个长度为2n的数列是有趣的,当且仅当该数列满足以下三个条件:
(1)它是从1到2n共2n个整数的一个排列{ai};
(2)所有的奇数项满足a1<a3<...<a2n-1,所有的偶数项满足a2<a4<...<a2n;
(3)任意相邻的两项a2i-1与a2i(1<=i<=n)满足奇数项小于偶数项,即:a2i-1<a2i。
现在的任务是:对于给定的n,请求出有多少个不同的长度为2n的有趣的数列。因为最后的答案可能很大,所以只要求输出答案 mod P的值。
输入输出格式
输入格式:
输入文件只包含用空格隔开的两个整数n和P。输入数据保证,50%的数据满足n<=1000,100%的数据满足n<=1000000且P<=1000000000。
输出格式:
仅含一个整数,表示不同的长度为2n的有趣的数列个数mod P的值。
输入输出样例
输入样例#1:
3 10
输出样例#1:
5
对应的5个有趣的数列分别为(1,2,3,4,5,6),(1,2,3,5,4,6),(1,3,2,4,5,6),(1,3,2,5,4,6),(1,4,2,5,3,6)。
/*
裸的卡特兰数。。。。
公式:C(n,2*n)/(n+1)%p
C(n,2*n)表示在2*n个数中选n个,就是组合数啦。。。
公式可以展开:((2*n)!/n!*(n+1)!)%p
于是出现唯一的难点:取模
题目中没说p是不是质数。。。
因为(2*n)!一定能被n!*(n+1)!)整除
所以对于每一个小于2*n的质因数p来说,(2*n)!中一定存在数量更多的(或一样多)的因数p
于是可以分解质因数。。。
这是线性的,可以预处理。。。
于是此题解决。。。
*/
#include<iostream>
#include<cstdio>
#define LL long long
using namespace std;
LL n,p;
int a[],pri[],cnt=;
LL pow(LL a,LL b){
LL s=;
while(b){
if(b&) s=s*a%p;
b>>=;
a=a*a%p;
}
return s;
}
int main(){
LL ans=;
LL m,s=;
scanf("%lld%lld",&n,&p);
for(int i=;i<=n*;i++){//欧拉筛
if(a[i]==)
pri[++cnt]=i;
for(int j=;j<=cnt&&pri[j]*i<=n*;j++){
a[pri[j]*i]=;
if(i%pri[j]==) break;
}
}
for(int i=;i<=cnt;i++){
s=;
m=*n;
while(m>){
m=m/pri[i];
s=s+m;
}
m=n;
while(m>){
m=m/pri[i];
s=s-m;
}
m=n+;
while(m>){
m=m/pri[i];
s=s-m;
}
ans=ans*pow(pri[i],s)%p;
}
printf("%lld\n",ans);
return ;
}
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