【算法】最长回文子串 longest palindrome substring

对于字符串S，要找到它最长的回文子串，能想到的最暴力方法，应该是对于每个元素i-th都向左向右对称搜索，最后用一个数组span 记录下相对应元素i-th为中心的回文子串长度。

那么问题来了：

　　1. 这样的方法，对于奇回文子串和偶回文子串的处理不一样，比如所“acbca” 和“acbbca”

　　2. 计算冗余，e.g. ”sscssabcccchccccba“中，自左向右遍历计算的话，会发现， ”abcccchccccba“是对称的，而这个回文字符串里又左右对称分别包含了两个回文子字符”cccc“和”cccc“，在对第二个”cccc“字符串遍历的时候，其实可以利用到”abcccchccccba“的对称性来直接赋值，而不用再次计算

于是，引出了Manacher's 算法：

　　1. 为了可以对奇偶回文字符串不加区分地处理，对输入字符串增加边界元素（输入字符串S长度为N -> S2长度为2*N+1）：e.g. ”aabbbcc“ -> "#a#a#b#b#b#c#c#" ， ”aabbcc“ -> "#a#a#b#b#c#c#"

　　2. 对于S2字符串，自左向右，每个字符逐个计算和处理

　　　　1）用span[maxInputStringLength*2+1]数组来记录每个元素i-th为中心的回文字符串长度：初始化 span[0] = 0

　　　　2）用center 和 rightBoundary 来记录上一个已知的回文字符串中心index和最右边界index ：初始化 center = 0， rightBoundary = 0

　　　　3）用 i 表示当前处理的元素， i2 表示以 center 为中心的 center左侧 i 对称元素下标： i2 = center - （i - center）= center * 2 - i

　　　　4）加上已知的回文子串信息之后，假设已经处理了S2[0, i-1]范围的元素，那么已知的回文子串中心center 必然属于[0, i-1]区间，但是对于rightBoundary和i的关系可以有三种情况：

　　　　　　a）当前处理的元素（index = i）以 center为中心，对称的元素（index = i2）上有，span[i2] < rightBoundary - i - 1，表示i2点的回文字符串最左端不会超过leftBoundary的长度，利用了已知的回文字符串信息辅助说明，当前以i为中心的回文字符串将和i2完全对称，span[i] = span[i2]

　　　　　　b）当前处理的元素（index = i）以 center为中心，对称的元素（index = i2）上有，span[i2] >= rightBoundary - i - 1, 表示 i2 点的回文字符串最左端已经超过了leftBoundary的范围，不能利用已知回文字符串直接赋值，但还是可以利用对称性，使得对称搜索从rightBoundary处开始，这样可以减少计算

　　　　　　c）当前处理的元素（index = i）并不在已知回文串的记录范文内，那么久没有辅助信息，需要从i元素的左右对称搜索，得到span[i]的值

　　　　5）最后要更新center和rightBoundary的值，使得已知回文字符串的覆盖范围右移，这样可以持续辅助搜索

 const int maxStringLength = ;

 string longestPalindrome(string s) {

     if (s.empty()) return "";

     ///add boundary

     string s2;

     for (int i = ; i < s.size(); i++) {

         s2.push_back('#');

         s2.push_back(s[i]);

     }

     s2.push_back('#');

     /// setting

     int span[maxStringLength] = {};

     span[] = ; // init the first element's length of palindrome

     int center = , rightBoundary = ;

     int left = , right = ;

     ///traverse

     for (int i = ; i < s2.size(); i++) {

         if (i <= rightBoundary) {

             int i2 = center *  - i;// center - (i - center)

             if (span[i2] < (rightBoundary - i - )) {

                 span[i] = span[i2];

                 left = -;

             }

             else {

                 span[i] = rightBoundary - i;

                 right = rightBoundary + ;

                 left = i *  - right; //i - (right - i)

             }

         }

         else {

             span[i] = ;

             left = i - ;

             right = i + ;

         }

         while (left >=  && right < s2.size() && s2[left] == s2[right]) {

             span[i] ++;

             left--;

             right++;

         }

         if ((i + span[i]) > rightBoundary) {

             center = i;

             rightBoundary = i + span[i];

         }

     }

     /// find the max span length

     int maxSubstringCenter = , maxSubstringLen = ;

     for (int i = ; i < s2.size(); i++) {

         if (span[i] > maxSubstringLen) {

             maxSubstringLen = span[i];

             maxSubstringCenter = i;

         }

     }

     /// remove boundary '#' from substring

     string result;

     for (int i = maxSubstringCenter - maxSubstringLen; i <= maxSubstringCenter + maxSubstringLen; i++) {

         if (s2[i] != '#')

             result.push_back(s2[i]);

     }

     return result;

 }

巴特西

【算法】最长回文子串 longest palindrome substring

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