[bzoj2440]完全平方数[中山市选2011][莫比乌斯函数][线性筛][二分答案]

题意：求第k个分解质因子后质因子次数均为一的数，即求第k个无平方因子数。

题解：

　　首先二分答案mid，那么现在就是要求出mid以内的无平方因子数的个数。

　　其次枚举$\sqrt{mid}$内的所有质数，由容斥原理

　　　　$Num=0个质数平方的倍数的数量(1的倍数)-1个质数平方的倍数的数量(9,25...的倍数)$

　　　　　　$+2个质数平方的倍数的数量(36,100...的倍数)...$

　　可以发现对于一个数x，x的倍数数量对答案的贡献符号为$\mu(x)$。

　　例如：9的倍数数量最答案的贡献是$\mu(9)\lfloor{\frac{mid}{9}}\rfloor=-\lfloor{\frac{mid}{9}}\rfloor$

　　所以最终mid以内的个数为

　　　　$Cnt=\sum\limits^{\lfloor{\sqrt{mid}}\rfloor}_{i=1}(\mu(i)\lfloor{\frac{mid}{i^2}}\rfloor)$

　　其中莫比乌斯函数为积性函数所以可以用线性筛预处理。

 #include <bits/stdc++.h>

 using namespace std;

 int    T,n,p[],Mu[],noprime[];

 bool    visited[];

 void Mobius(const int N)

 {

     int    pnum=; Mu[]=;

     for(int i=;i<N;i++)

     {

         if(!visited[i]) { p[pnum++]=i; Mu[i]=-; }

         for(int j=;j<pnum && i*p[j]<N;j++)

         {

             visited[i*p[j]]=true;

             if(i%p[j]==) { Mu[i*p[j]]=; break; }

             Mu[i*p[j]]=-Mu[i];

         }

     }

 }

 int    Check(const int x)

 {

     int    temp=sqrt(x),Ans=;

     for(int i=;i<=temp;++i)

         Ans+=Mu[i]*(x/i/i);

     return Ans;

 }

 int main()

 {

     scanf("%d",&T); Mobius();

     while(T--)

     {

         scanf("%d",&n);

         int l=,r=2e9;

         while(l<r-)

         {

             int    mid=l+((r-l)>>);

             if(Check(mid)>=n)r=mid;

             else    l=mid;

         }

         printf("%d\n",r);

     }

     return ;

 }

巴特西

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