CF1601F Two Sorts

给定 \(n\)，将 \(1\sim n\) 按照字典序排序，\(a_i\) 表示第 \(i\) 小的数，求：

\[\left(\sum_{i=1}^{n} ((i-a_i)\bmod 998244353)\right) \bmod 10^9+7
\]

\(1\le n\le 10^{12}\)

Solution

先暴力，我们按照字典序搜索（记 \(\text{cnt}\) 和 \(\text{val}\) 表示第 \(\text{cnt}\) 小的数是 \(\text{val}\)）即可线性。

考虑根号分治（不搜索末 \(6\) 位），我们同样搜索，处理到 \(\overline {\text{valxxxxxx}}\) 时（假设 \(\overline{\text{val999999}} \le n\)，即没有任何上界限制），会发现可以快速计算这些值的和。

我们记 \(cnt_{x}\) 表示 \(x\) 的排名，\(cnt'_x\) 表示 \(x\) 在 \(\overline {abcdef}\) （\(0\le a,b,c,d,e,f\le 9\)，即可以有前导零）的排名。

那么， \(cnt_{\overline {\text{valxxxxxx}}}=cnt_{\overline{\text{val}}}+cnt'_{\overline{\text{xxxxxx}}}\)，因此可以把贡献拆成：

\[\left((cnt_{\overline{\text{val}}}-10^6\cdot val)+(cnt'_{\overline{\text{xxxxxx}}}-\overline{\text{xxxxxx}})\right) \bmod 998244353
\]

因此，我们可以预处理 \(\overline{\text{xxxxxx}}\) 相关的信息，即 \((cnt'_{\overline{\text{xxxxxx}}}-\overline{\text{xxxxxx}})\)。

由于上述式子是 \((A+B)\bmod P\) 形式，而 \(0\le A,B<P\)，因此值为 \(A+B\) 或 \(A+B-P\)，判断这个可以通过一个二分解决。

因此，总时间复杂度 \(\mathcal O(\sqrt{n} \log n)\)。

提一句，这个实在太难表述了，所以可以对照代码阅读。我的代码码量极小，并且是目前的最优解。

巴特西