洛谷P3702 [SDOI2017]序列计数

题目大意：

Alice想要得到一个长度为\(n\)的序列，序列中的数都是不超过\(m\)的正整数，而且这\(n\)个数的和是\(p\)的倍数。

Alice还希望，这\(n\)个数中，至少有一个数是质数。

Alice想知道，有多少个序列满足她的要求。

对\(100\%\)的数据，\(1\leq n \leq 10^9,1\leq m \leq 2\times 10^7,1\leq p\leq 100\)

直接求不太好求，容斥一下，先求出全部的方案，再除掉没有质数的

全部的方案怎么求？

考虑\(dp\)，设\(f[i][j]\)表示\(i\)个数字，其和\(mod\ p\)为\(j\)的方案数，可以得到转移方程\(f[i_1+i_2][(j_1+j_2)\%p]=f[i_1][j_1]*f[i_2][j_2]\)

然后跑一年就出来了

考虑第一维，发现好像挺像个指数的运算

那我们把第一维用快速幂优化掉

当然我们要提前求出\(i=1\)时的\(f[i][j]\)，这个循环一遍就完了

设\(g[i][j]\)表示\(i\)个数字，其和\(mod\ p\)为\(j\)的且不含质数方案数，转移方程相同，只是初始的时候质数不贡献答案

然后就好了～

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

namespace red{

#define int long long

	inline int read()

	{

		int x=0;char ch,f=1;

		for(ch=getchar();(ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-';ch=getchar());

		if(ch=='-') f=0,ch=getchar();

		while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}

		return f?x:-x;

	}

	const int N=2e7+10,p=20170408;

	int n,m,k;

	int f[233],g[233],F[233],G[233],c[233];

	signed prime[N>>1],num;

	bool vis[N];

	inline void work(int *a,int *b,int *d)

	{

		for(int i=0;i<k;++i)

		{

			for(int j=0;j<k;++j)

			{

				(c[i+j]+=a[i]*b[j])%=p;

			}

		}

		for(int i=0;i<k;++i)

		{

			d[i]=(c[i]+c[i+k])%p;

			c[i]=c[i+k]=0;

		}

	}

	inline void main()

	{

		n=read(),m=read(),k=read();

		f[1]=g[1]=F[0]=G[0]=1;

		for(int i=2;i<=m;++i)

		{

			++f[i%k];

			if(!vis[i]) prime[++num]=i;

			else ++g[i%k];

			for(int j=1;j<=num;++j)

			{

				if(i*prime[j]>m) break;

				vis[i*prime[j]]=1;

				if(i%prime[j]==0) break;

			}

		}

		while(n)

		{

			if(n&1) work(F,f,F),work(G,g,G);

			work(f,f,f);

			work(g,g,g);

			n>>=1;

		}

		printf("%lld\n",(F[0]-G[0]+p)%p);

	}

}

signed main()

{

	red::main();

	return 0;

}

等等，我们发现了什么？

看这里

for(int i=0;i<k;++i)

{

	for(int j=0;j<k;++j)

	{

		(c[i+j]+=a[i]*b[j])%=p;

	}

}

一个卷积！在这里写个任意模数\(ntt\)岂不美哉

虽然对于这道题来说是没事找事

代码先鸽子了，毕竟我还不会任意模数\(ntt\)

巴特西

洛谷P3702 [SDOI2017]序列计数

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