[cf 1264 C] Beautiful Mirrors with queries

题意：

你有$n$个魔镜，第$i$个魔镜有$p_{i}$的概率说你美。

从第1天开始，你会依次询问魔镜$1-n$你美不美。

若第$i$个魔镜说你美则你明天会继续询问第$i+1$个魔镜。

否则你明天会从该魔镜前面第一个复活点魔镜开始询问。初始时只有魔镜1是复活点。

当第$n$个魔镜说你美的时候你会开心的一批。

现在有$q$次操作，每次操作修改一个魔镜使其成为/不成为复活点。

每次操作之后请你求出期望多少天你能开心的一批。

$n,q\leq 2\times 10^{5}$。

题解：推出一段区间答案的简单表示形式即可。

一开始想复杂了，用期望的线性性推了个式子发现做不了。

实际上我们只需要根据最简单的思路推式子即可。

设$E_{i}$为从$i$走到$n$的期望天数。

则有$E_{i}=p_{i}\times(1+E_{i+1})+(1-p_{i})\times(1+E_{1})$。

手动消元一下$E_{1}$，得到$E_{1}=\frac{1}{p_{n}}+\frac{1}{p_{n}p_{n-1}}+\cdots +\frac{1}{p_{n}p_{n-1}\cdots p_{1}}$。

那么考虑复活点这件事，容易发现整个序列被复活点分成了若干个区间。

每个区间是独立的。即$ans=\sum{E_{[f_{i-1},f_{i}]}}$。

那么我们考虑$E_{[l,r]}$如何计算。

推广上面那个式子，得到$E_{[l,r]}=\frac{1}{p_{r}}+\frac{1}{p_{r}p_{r-1}}+\cdots +\frac{1}{p_{r}p_{r-1}\cdots p_{l}}$。

我们设$s_{i}$为$p_{1}p_{2}\cdots p_{i}$，那么有

$E_{[l,r]}=\frac{(p_{r-1}p_{r-2}\cdots p_{l}+p_{r-2}p_{r-3}\cdots p_{l}+\cdots +p_{l}+1)}{\frac{s_{r}}{s_{l-1}}}$。

我们再设$ss_{i}=s_{1}+s_{2}+\cdots +s_{i}$，那么有

$E_{[l,r]}=\frac{\frac{(ss_{r-1}-ss_{l-1})}{s_{l-1}}+1}{\frac{s_{r}}{s_{l-1}}}$。

于是只需要用一个$set$维护复活点即可做到$O(nlogn)$。

代码：

#include<bits/stdc++.h>

#define maxn 200005

#define maxm 500005

#define inf 0x7fffffff

#define mod 998244353

#define ll long long

#define debug(x) cerr<<#x<<": "<<x<<endl

#define fgx cerr<<"--------------"<<endl

#define dgx cerr<<"=============="<<endl

using namespace std;

ll s[maxn],ss[maxn];

set<int> st;

inline ll read(){

    ll x=,f=; char c=getchar();

    for(;!isdigit(c);c=getchar()) if(c=='-') f=-;

    for(;isdigit(c);c=getchar()) x=x*+c-'';

    return x*f;

}

inline ll power(ll a,ll b){ll ans=;while(b) ans=(b&)?ans*a%mod:ans,a=a*a%mod,b>>=;return ans;}

inline ll inv(ll x){return power(x,mod-);}

inline ll mo(ll x){return x>=mod?x-mod:x;}

inline ll calc(ll l,ll r){return (mo(ss[r-]-ss[l-]+mod)*inv(s[l-])%mod+)*inv(s[r]*inv(s[l-])%mod)%mod;}

int main(){

    ll n=read(),q=read(); s[]=;

    for(ll i=;i<=n;i++){

        ll x=read()*inv()%mod;

        s[i]=s[i-]*x%mod,ss[i]=(ss[i-]+s[i])%mod;

    }

    st.insert(),st.insert(n+);

    ll ans=(ss[n-]+)%mod*inv(s[n])%mod;

    while(q--){

        int x=read();

        set<int>::iterator it=st.lower_bound(x);

        if(*it==x){

            int l=*(--it);it++;int r=(*(++it));//cout<<1<<":"<<l<<" "<<r<<endl;

            ans=mo(ans-calc(l,x-)+mod),ans=mo(ans-calc(x,r-)+mod),ans=mo(ans+calc(l,r-)),st.erase(x);

        }

        else{

            int l=*(--it);it++;int r=(*it);//cout<<2<<":"<<l<<" "<<r<<endl;

            ans=mo(ans-calc(l,r-)+mod),ans=mo(ans+calc(l,x-)),ans=mo(ans+calc(x,r-)),st.insert(x);

        }

        printf("%I64d\n",ans);

    }

    return ;

}

巴特西

[cf 1264 C] Beautiful Mirrors with queries

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