codeforces C. Magic Formulas 解题报告
题目链接:http://codeforces.com/problemset/problem/424/C
题目意思:给出 n 个数:p1, p2, ..., pn,定义:
q1 = p1 ^ (1 mod 1) ^ (1 mod 2) ^ (1 mod 3) ...^(1 mod n);
q2 = p2 ^ (2 mod 1) ^ (2 mod 2) ^ (2 mod 3) ...^(2 mod n);
...
qn = p3 ^ (n mod 1) ^ (n mod 2) ^ (n mod 3) ...^(n mod n)
Q = q1 ^ q2 ...^ qn
要求算出 Q
很明显,如果直接做绝对是超时的。在这里,非常感谢 yk 师弟不厌其烦地为我解释思路,虽然最后我并没有按他的思路做......
那么,不能直接算就需要从公式中找规律。首先要清楚的是,异或 ^ 运算满足交换律;所以可以先求出 p1 ^ p2 ^ ...^ pn,并且可以先求出第一列异或的结果,再跟第二列求出的异或结果异或...直到跟最后一列的结果异或。其次,假设 n 代表一个非零整数,有3条公式需要知道:(1)0 ^ n = n;(2)n ^ n = 0(可以推广到异或偶数次自身),(3) n ^ n ^ n = n(可以推广到异或奇数次自身)。 这3个公式对后面的的计算进行简化。
假设n = 5。接着请读者打竖看,即 1 mod 1, 2 mod 1, ..., 7 mod 1 地看。很明显这一列 异或之后 是等于0的!那么从第二列开始看: 第三列 第四列 第五列
1 mod 2 = 1 1 mod 3 = 1 1 mod 4 = 1 1 mod 5 = 1
2 mod 2 = 0 2 mod 3 = 2 2 mod 4 = 2 2 mod 5 = 2
3 mod 2 = 1 3 mod 3 = 0 3 mod 4 = 3 3 mod 5 = 3
4 mod 2 = 0 4 mod 3 = 1 4 mod 4 = 0 4 mod 5 = 4
5 mod 2 = 1 5 mod 3 = 2 5 mod 4 = 1 5 mod 5 = 0
观察这些数,可以得出每一列 mod 出来的结果都是比被 mod 数小的:第二列 mod 出来的结果都比 2 小 ; 第三列 mod 出来的结果都比 3 小;...第五列比 5 小。再观察发现,每一列 mod 出来的数是有周期性的。这时需要用到上面所说的后两条公式了。需要知道这些周期究竟是计数还是偶数,如果是偶数,相当于根本没有做过异或操作;否则异或一次。周期数的计算可以用这个公式 (n-n%i)/i 求出 。最后要处理的是最后面的那些不成周期的数究竟是什么,可以用到 n % i 来得出。(i 表示 每列中被mod的数)
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
using namespace std; const int maxn = 1e6;
int num[maxn]; int main()
{
int i, p, n, ans;
num[] = ;
for (i = ; i <= maxn; i++)
num[i] = num[i-] ^ i; // num[1] = 0^1; num[2] = 0^1^2; num[n] = 0^1^2...^n
while (scanf("%d", &n) != EOF)
{
ans = ;
for (i = ; i < n; i++)
{
scanf("%d", &p);
ans ^= p; // 先求出p1^p2^...^pn
}
for (i = ; i <= n; i++)
{
int tmp = n - n % i;
if ((tmp/i) & ) // tmp/i 表示有多少个周期数
ans ^= num[i-];
ans ^= num[n%i]; // 不成周期数的独立处理
}
printf("%d\n", ans);
}
return ;
}
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